Chapitre 1 — Cours : objectifs 1 et 2
Objectif 1 — Comprendre et utiliser les différentes écritures d’un nombre décimal
A Écriture et position
Définition
Un nombre décimal est un nombre qu’on peut écrire sous forme de fraction décimale, c’est-à-dire une fraction dont le dénominateur est 1, 10, 100, 1 000, etc.
Exemple
6 239, 75 est un nombre décimal, car :
6 239, 75 = 623 975100
On sépare la partie entière (avant la virgule) et la partie décimale (après la virgule) :
- Partie entière de 6 239, 75 : 6 239
- Partie décimale de 6 239, 75 : 0, 75 (souvent notée avec des positions 7 et 5 dans le tableau ci‑dessous)
| Partie entière | Partie décimale | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Milliers 1 000 |
Centaines 100 |
Dizaines 10 |
Unités 1 |
Dixièmes 1/10 |
Centièmes 1/100 |
Millièmes 1/1 000 |
| 6 | 2 | 3 | 9 | 7 | 5 | … |
La virgule sépare la partie entière et la partie décimale. Chaque rang après la virgule correspond à une fraction dixième, centième, millième… de l’unité.
Décomposition (somme de produits)
6 239, 75 = (6 × 1 000) + (2 × 100) + (3 × 10) + (9 × 1) + (7 × 0, 1) + (5 × 0, 01)
On lit par exemple : « six mille », « deux centaines », « trois dizaines », « neuf unités », « sept dixièmes », « cinq centièmes ».
B Grands nombres
Convention (lecture des grands entiers)
Pour faciliter la lecture, on regroupe les chiffres par paquets de trois en partant du rang des unités, en laissant des espaces (fins) entre les groupes.
Exemple
17 823 750 000 se lit : dix-sept milliards huit-cent-vingt-trois millions sept-cent-cinquante mille.
C Différentes écritures d’un nombre
Pourcentage
Pour tout entier naturel a, on note a % la fraction a100.
Exemple
12 % = 12100 = 0, 12
Écriture fractionnaire et forme mixte
Une fraction supérieure ou égale à 1 peut s’écrire comme somme d’un entier et d’une fraction strictement inférieure à 1 (après simplification éventuelle) : c’est une forme mixte.
Exemple
234100 = 200100 + 34100 = 2 + 34100.
Forme mixte usuelle : 2 + 34100.
Objectif 2 — Repérer, comparer, ordonner, encadrer et arrondir des nombres décimaux
A Repérer sur une demi-droite graduée
Pour graduer une demi-droite, on doit choisir une unité de longueur que l’on reporte régulièrement.
Définition
Chaque point d’une demi-droite graduée peut être repéré par un nombre qui s’appelle l’abscisse de ce point.
Exemple
Demi-droite graduée de 0 à 5 avec dixièmes entre chaque entier.
Le point O de la demi-droite graduée a pour abscisse 0 ; on dit que O est l’origine de la demi-droite.
Le point A a pour abscisse 2 : on écrit A(2). De même, on écrit B(3, 5) et C(2, 7).
B Comparer et ordonner
Définitions
- Comparer deux nombres, c’est dire s’ils sont égaux, ou si l’un est plus petit ou plus grand que l’autre.
- Ranger des nombres dans l’ordre croissant, c’est les ranger du plus petit au plus grand.
- Ranger des nombres dans l’ordre décroissant, c’est les ranger du plus grand au plus petit.
Exemples
- 2, 7 < 15, 03 se lit : « 2,7 est inférieur à 15,03 » (on peut aussi dire : « 2,7 est plus petit que 15,03 »).
- 3, 1 > 3, 067 se lit : « 3,1 est supérieur à 3,067 » (on peut aussi dire : « 3,1 est plus grand que 3,067 »).
- 0, 7 < 0, 89 < 2, 47 < 25, 2 < 54, 1 : les nombres sont rangés dans l’ordre croissant.
- 124, 7 > 78 > 32, 3 > 11, 7 > 5, 8 > 0, 96 : les nombres sont rangés dans l’ordre décroissant.
C Encadrer et arrondir
Définitions
- Encadrer un nombre, c’est trouver un nombre plus petit et un nombre plus grand que ce nombre.
- Intercaler un nombre entre deux autres, c’est trouver un nombre compris entre ces deux nombres.
- Arrondir un nombre décimal à un rang donné, c’est donner la valeur la plus proche de celui-ci dans un encadrement à ce rang donné.
Remarque
Dans la pratique, on regarde le chiffre du rang d’après :
- si ce chiffre est 0, 1, 2, 3 ou 4, on choisit la valeur inférieure de l’encadrement ;
- si ce chiffre est 5, 6, 7, 8 ou 9, on choisit la valeur supérieure de l’encadrement.
Exemple
Le tableau ci-dessous présente quatre encadrements du nombre 26, 748 :
| Au centième | Au dixième | À l’unité | À la dizaine |
|---|---|---|---|
| 26, 74 < 26, 748 < 26, 75 | 26, 7 < 26, 748 < 26, 8 | 26 < 26, 748 < 27 | 20 < 26, 748 < 30 |
- L’arrondi de 26, 748 à l’unité est 27 car 26 < 26, 748 < 27 (le chiffre des dixièmes est un 7).
- L’arrondi de 26, 748 au dixième est 26, 7 car 26, 7 < 26, 748 < 26, 8 (le chiffre des centièmes est un 4).