Cours
Les nombres entiers et décimaux
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Cours complet — Les nombres entiers et décimaux
La valeur des chiffres
Dans un nombre, chaque chiffre a une valeur selon sa position.
| Millier | Centaine | Dizaine | Unité | Dixième | Centième | Millième |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 000 | 100 | 10 | 1 | 0,1 | 0,01 | 0,001 |
Exemple avec le nombre 1 247,365
- 1 = 1 millier = 1 000.
- 2 = 2 centaines = 200.
- 4 = 4 dizaines = 40.
- 7 = 7 unités = 7.
- 3 = 3 dixièmes = 0,3.
- 6 = 6 centièmes = 0,06.
- 5 = 5 millièmes = 0,005.
La virgule sépare la partie entière et la partie décimale.
Plus on va vers la gauche, plus la valeur est grande. Plus on va vers la droite, plus la valeur est petite.
Les grands nombres entiers
Les grands nombres sont regroupés par classes de 3 chiffres.
| Classe des milliards | Classe des millions | Classe des milliers | Classe des unités |
|---|---|---|---|
| milliards | millions | milliers | unités |
| 4 | 325 | 781 | 642 |
On lit 4 325 781 642 : quatre milliards trois cent vingt-cinq millions sept cent quatre-vingt-un mille six cent quarante-deux.
3 254 781 962 : un espace tous les 3 chiffres.
3254781962 : difficile à lire.
Les nombres décimaux
Un nombre décimal peut s’écrire sous forme d’une fraction dont le dénominateur vaut 10, 100, 1 000, etc.
| Fraction | Nombre décimal |
|---|---|
| 3/10 | 0,3 |
| 45/100 | 0,45 |
| 7/1000 | 0,007 |
Important : tout nombre entier est aussi un nombre décimal. Par exemple, 5 = 5,0 et 12 = 12,0.
Les pourcentages
Un pourcentage signifie sur 100.
| Pourcentage | Fraction | Décimal |
|---|---|---|
| 25 % | 25/100 | 0,25 |
| 50 % | 50/100 | 0,5 |
| 75 % | 75/100 | 0,75 |
| 100 % | 100/100 | 1 |
Exemples : 10 % = 0,10, 35 % = 0,35, 250 % = 2,5.
- Les pourcentages servent à exprimer une réduction.
- Ils peuvent exprimer une proportion.
- Ils peuvent aussi exprimer une probabilité.
Différentes écritures d’un nombre décimal
Un même nombre peut s’écrire de plusieurs façons.
| Écriture | Forme pour 2,5 |
|---|---|
| Nombre décimal | 2,5 |
| Fraction | 25/10 |
| Nombre mixte | 2 + 5/10 |
| Pourcentage | 250 % |
Placer un nombre sur une demi-droite graduée
- Repérer les deux entiers entre lesquels se trouve le nombre.
- Observer la graduation.
- Compter les graduations.
- Placer le point.
Pour placer 2,7, on repère qu’il est entre 2 et 3. Si l’intervalle est partagé en 10 parties, 2,7 correspond à la 7e graduation après 2.
Repérer un nombre sur une demi-droite
- Repérer les entiers.
- Observer la graduation.
- Compter les graduations.
- Lire le nombre.
Si un point est à la 4e graduation après 1 sur une graduation au dixième, alors le nombre est 1,4.
Comparer des nombres décimaux
On compare d’abord la partie entière. Si elle est égale, on compare les dixièmes, puis les centièmes, puis les millièmes.
Exemples
5,8 > 5,3
7,42 > 7,39
2,105 > 2,099
Astuce
Compare chiffre par chiffre en partant de la gauche.
Ranger des nombres décimaux
Ordre croissant : du plus petit au plus grand.
1,2 < 1,35 < 1,8 < 2,01
Ordre décroissant : du plus grand au plus petit.
2,01 > 1,8 > 1,35 > 1,2
Arrondir un nombre décimal
Pour arrondir à l’unité, on regarde le chiffre des dixièmes : s’il est inférieur à 5, on garde ; s’il est supérieur ou égal à 5, on augmente.
À l’unité
4,3 ≈ 4
4,8 ≈ 5
Au dixième
3,24 ≈ 3,2
3,27 ≈ 3,3
Encadrer un nombre décimal
Encadrer, c’est placer un nombre entre deux valeurs.
Au dixième : 3,4 < 3,47 < 3,5.
À l’unité : 3 < 3,47 < 4.
Additionner des nombres décimaux
- Aligner les virgules.
- Compléter avec des zéros si besoin.
- Additionner colonne par colonne.
12,45 + 3,70 ------- 16,15
Soustraire des nombres décimaux
On aligne toujours les virgules.
15,80 - 4,25 ------- 11,55
Multiplier des nombres décimaux
Multiplier par 10, 100 ou 1 000 déplace la virgule vers la droite.
× 10
2,5 × 10 = 25
4,32 × 10 = 43,2
× 100 et × 1 000
3,2 × 100 = 320
1,45 × 1 000 = 1 450
Diviser des nombres décimaux
Diviser par 10, 100 ou 1 000 déplace la virgule vers la gauche.
÷ 10
25 ÷ 10 = 2,5
43,2 ÷ 10 = 4,32
÷ 100 et ÷ 1 000
320 ÷ 100 = 3,2
1 450 ÷ 1 000 = 1,45
Multiplication de deux nombres décimaux
On calcule d’abord sans les virgules, puis on replace la virgule avec le bon nombre de chiffres décimaux.
2,5 × 1,2 25 × 12 ---- 50 250 ---- 300
Il y a 2 chiffres après la virgule au total, donc 2,5 × 1,2 = 3,00 = 3.
Ordre de grandeur
Un ordre de grandeur permet de vérifier rapidement si un résultat semble logique.
Exemple : 19,8 × 5,1 ≈ 20 × 5 ≈ 100. Le résultat exact sera proche de 100.
Division euclidienne
Dans une division euclidienne, on obtient un quotient et un reste.
| Dividende | Diviseur | Quotient | Reste |
|---|---|---|---|
| 17 | 5 | 3 | 2 |
Car 17 = (5 × 3) + 2.
Problèmes avec les nombres décimaux
Une bouteille contient 1,5 L. On remplit 4 bouteilles.
Calcul : 1,5 × 4 = 6. Il faut donc 6 litres.
Automatismes à connaître
| Équivalence | Décimal | Multiplication rapide | Résultat | Division rapide | Résultat |
|---|---|---|---|---|---|
| 1/10 | 0,1 | 4,5 × 10 | 45 | 45 ÷ 10 | 4,5 |
| 1/100 | 0,01 | 4,5 × 100 | 450 | 45 ÷ 100 | 0,45 |
| 1/1000 | 0,001 | 4,5 × 1 000 | 4 500 | 45 ÷ 1 000 | 0,045 |
Résumé général
- Les chiffres n’ont pas la même valeur selon leur position.
- Les nombres décimaux utilisent une virgule.
- Les pourcentages signifient « sur 100 ».
- On peut écrire un nombre sous plusieurs formes.
- Les virgules doivent être alignées dans les calculs.
- Multiplier par 10 déplace la virgule vers la droite.
- Diviser par 10 déplace la virgule vers la gauche.
- Les ordres de grandeur permettent de vérifier les résultats.
Mémo — Les nombres entiers et décimaux
Exercices
Exercice 1
Dans le nombre 45,27 :
- Quel est le chiffre des unités ?
- Quel est le chiffre des dixièmes ?
- Combien y a-t-il de centièmes ?
Exercice 2
Complète :
- 0,1 = ___ dixième
- 0,01 = ___ centième
- 0,001 = ___ millième
Exercice 3
Décompose 126,45.
126,45 = 100 + 20 + 6 + 0,4 + 0,05
Évaluation
Une question à la fois : le niveau s’ajuste après chaque réponse.
Question 1
Cours — Les grands nombres entiers
1. Comprendre les classes
Quand les nombres deviennent très grands, on les regroupe par classes de 3 chiffres.
| Classe des milliards | Classe des millions | Classe des milliers | Classe des unités | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| centaines | dizaines | milliards | centaines | dizaines | millions | centaines | dizaines | milliers | centaines | dizaines | unités |
| 4 | 0 | 2 | 3 | 2 | 5 | 7 | 8 | 1 | 6 | 4 | 2 |
Exemple : 4 325 781 642
On lit : « quatre milliards trois cent vingt-cinq millions sept cent quatre-vingt-un mille six cent quarante-deux ».
2. Bien écrire les grands nombres
On met un espace tous les 3 chiffres en partant de la droite pour mieux lire le nombre.
3254781962 est difficile à lire.
3 254 781 962 est bien groupé par classes.
3. Exemple détaillé
Dans le nombre 52 408 731, chaque chiffre a une valeur selon sa classe et sa position.
| Chiffre | Valeur |
|---|---|
| 5 | 50 millions |
| 2 | 2 millions |
| 4 | 400 mille |
| 8 | 8 mille |
| 7 | 700 |
| 3 | 30 |
| 1 | 1 |
4. Comparer des grands nombres
On regarde d’abord le nombre de chiffres : celui qui en a le plus est le plus grand.
S’ils ont le même nombre de chiffres, on compare de gauche à droite.
À retenir
Les grands nombres sont rangés par classes de 3 chiffres.
Chaque classe contient des unités, dizaines et centaines.
1 milliard = 1 000 millions et 1 million = 1 000 milliers.
Mémo — Les grands nombres entiers
Exercices — Les grands nombres entiers
Exercice 1
Lis le nombre suivant : 7 245 981.
Exercice 2
Décompose 3 482 015.
3 482 015 = 3 000 000 + 400 000 + 80 000 + 2 000 + 10 + 5
Exercice 3
Complète le tableau pour 15 742 903.
| Nombre | Classe des millions | Classe des milliers | Classe des unités |
|---|---|---|---|
| 15 742 903 | 15 | 742 | 903 |
Évaluation — Les grands nombres entiers
Une question à la fois : le niveau s’ajuste après chaque réponse.
Question 1
Cours — Les nombres décimaux
1. Qu’est-ce qu’un nombre décimal ?
Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous forme d’une fraction dont le dénominateur est 10, 100, 1 000, etc.
Tout nombre entier est aussi un nombre décimal : par exemple 7 = 7,0 = 70/10.
2. Différentes écritures d’un nombre décimal
Un même nombre décimal peut avoir plusieurs écritures : écriture à virgule, fraction, nombre mixte ou pourcentage.
| Écriture à virgule | Fraction | Nombre mixte | Pourcentage |
|---|---|---|---|
| 2,35 | 235/100 | 2 + 35/100 | 235 % |
| 2,7 | 27/10 | 2 + 7/10 | 270 % |
3. Les pourcentages
Un pourcentage est une fraction sur 100. Par exemple : 25 % = 25/100 = 0,25.
Les pourcentages compris entre 0 % et 100 % servent à exprimer des proportions ou des probabilités.
4. Écritures équivalentes
Un même nombre peut admettre plusieurs écritures équivalentes.
- 25 % = 25/100 = 0,25 = 1/4.
- 35 % = 35/100 = 0,35 = 7/20.
- 12 = 12,0 = 120/10.
5. Nombre mixte
Pour une fraction supérieure à 1, on peut utiliser une écriture sous forme de nombre mixte.
Exemple : 17/4 = 4 + 1/4 = 4 1/4.
À retenir
Un nombre décimal peut s’écrire sous plusieurs formes : à virgule, fraction, nombre mixte, pourcentage.
Si le dénominateur d’une fraction est 1, 10, 100, 1 000..., alors c’est un nombre décimal.
Mémo — Les nombres décimaux
Exercices — Les nombres décimaux
Exercice 1
Écris sous forme décimale :
- 23/10
- 7/100
- 125/100
Exercice 2
Complète les égalités :
- 25 % = ___ /100 = ___
- 50 % = ___ /100 = ___
- 2,7 = ___ /10
Exercice 3
Transforme en nombre mixte : 17/4.
Évaluation — Les nombres décimaux
Une question à la fois : le niveau s’ajuste après chaque réponse.
Question 1
Cours — Placer et repérer un nombre décimal
1. Qu’est-ce qu’une demi-droite graduée ?
Une demi-droite graduée est une droite qui possède une origine, souvent notée 0, et qui est graduée régulièrement.
Chaque graduation correspond à la même unité. Elle permet de repérer, comparer et ordonner des nombres.
2. Placer un nombre décimal
Pour placer un nombre décimal sur une demi-droite graduée :
- On repère les deux entiers entre lesquels il se trouve.
- On partage l’intervalle en parts égales selon la graduation.
- On place le point correspondant.
Exemple : pour placer 2,7, on se place entre 2 et 3. Si l’intervalle est partagé en 10 parts, 2,7 est à la 7e graduation après 2.
3. Repérer un nombre décimal
Pour repérer le nombre qui correspond à un point, on regarde entre quels entiers il se trouve puis on compte les graduations depuis l’entier de gauche.
Si l’intervalle entre 1 et 2 est partagé en 10 parts égales, la 4e graduation après 1 correspond à 1,4.
4. Choisir la bonne graduation
La taille des graduations dépend des nombres à placer.
Graduation au dixième
Chaque petit intervalle vaut 0,1. Elle convient pour placer 0,3 ; 1,8 ; 2,5...
Graduation au centième
Chaque petit intervalle vaut 0,01. Elle convient pour placer 0,32 ; 1,86 ; 2,57...
À retenir
Pour placer un point, on partage l’intervalle en parts égales puis on compte les graduations.
Pour repérer un nombre, on lit l’entier de gauche et on ajoute les graduations.
Plus la graduation est fine, plus on peut placer des nombres précis.
Mémo — Placer et repérer un nombre décimal
Exercices — Demi-droite graduée
Exercice 1
Sur une demi-droite graduée au dixième, place les nombres : 0,4 ; 1,3 ; 2,6 ; 3,9.
Exercice 2
L’intervalle entre 1 et 2 est partagé en 10 parts égales. Quel nombre correspond à la 4e graduation après 1 ?
Exercice 3
Explique pourquoi une graduation au centième permet de placer des nombres plus précis qu’une graduation au dixième.
Évaluation — Demi-droite graduée
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours complet — Les fractions
Découvrir les fractions
Une fraction permet de partager une quantité en plusieurs parts égales.
Exemple : une pizza est coupée en 4 parts égales. Si on prend 1 part, on écrit 1/4. Si on prend 3 parts, on écrit 3/4.
34
- 3 est le numérateur : nombre de parts prises.
- 4 est le dénominateur : nombre total de parts égales.
Plus le dénominateur est grand, plus les parts sont petites.
Une fraction représente une partie d’un tout.
Les fractions unitaires
Une fraction unitaire possède 1 au numérateur.
Exemples : 1/2, 1/4, 1/8.
- 1/2 = une part sur deux.
- 1/4 = une part sur quatre.
- 1/8 = une part sur huit.
Activités possibles : colorier une fraction, découper des bandes, relier une image à une fraction.
Représenter une fraction
Une fraction peut être représentée sur une figure, une bande ou une droite graduée.
Exemple : 3/4 signifie qu’on partage en 4 parts égales et qu’on en colorie 3.
01/42/43/41
Objectifs : lire une fraction, placer une fraction et comprendre les graduations.
Fractions et division
Une fraction est aussi une division : 3/4 = 3 ÷ 4.
Cela signifie : “3 partagé en 4 parts égales”.
- 6/2 = 6 ÷ 2 = 3.
- 8/4 = 8 ÷ 4 = 2.
Activités : partages, découpages et situations concrètes.
Fractions supérieures à 1
Certaines fractions sont plus grandes que 1. Exemple : 7/4.
7/4 représente 1 entier + 3/4.
À retenir : si le numérateur est plus grand que le dénominateur, la fraction est supérieure à 1.
Écriture décimale des fractions
Pour transformer une fraction en nombre décimal, on effectue la division : numérateur ÷ dénominateur.
| Fraction | Écriture décimale |
|---|---|
| 1/4 | 0,25 |
| 1/2 | 0,5 |
| 3/4 | 0,75 |
Comparer des fractions
Avec le même dénominateur, on compare les numérateurs : 3/8 > 1/8.
Avec le même numérateur, plus le dénominateur est grand, plus les parts sont petites : 1/2 > 1/4.
Fractions équivalentes
Deux fractions peuvent représenter la même quantité. Exemple : 1/2 = 2/4.
Méthode : on multiplie ou on divise le numérateur et le dénominateur par le même nombre.
Additionner et soustraire des fractions
Avec le même dénominateur : 1/4 + 2/4 = 3/4.
- On garde le dénominateur.
- On additionne ou on soustrait les numérateurs.
Multiplier une fraction par un nombre
Exemple : 3/4 × 8 = 6.
Comprendre : cela revient à prendre les 3/4 de 8.
Les pourcentages
Un pourcentage représente une fraction sur 100.
- 50 % = 50/100 = 1/2.
- 25 % = 25/100 = 1/4.
Applications : promotions, notes, statistiques.
Exercices et problèmes
Types d’exercices : colorier des fractions, placer sur une droite graduée, comparer des fractions, calculer une fraction d’un nombre et résoudre des problèmes du quotidien.
Exemple : une pizza est coupée en 8 parts. Tom mange 3 parts. Il a mangé 3/8 de la pizza.
Mémo — Les fractions
Vocabulaire
3/4 : 3 est le numérateur, 4 est le dénominateur.
Comparer
Même dénominateur : on compare les numérateurs. Même numérateur : les plus petites parts donnent la plus petite fraction.
Calculer
Même dénominateur : on garde le dénominateur et on calcule avec les numérateurs.
Décimaux et pourcentages
1/2 = 0,5 = 50 % ; 1/4 = 0,25 = 25 % ; 3/4 = 0,75 = 75 %.
Exercices — Les fractions
Exercice 1
Colorie 3 parts sur 4 dans un rectangle partagé en parts égales.
Exercice 2
Place sur une droite graduée : 1/4, 2/4, 3/4.
Exercice 3
Compare : 3/8 et 1/8, puis 1/2 et 1/4.
Exercice 4
Calcule les 3/4 de 8.
Problème
Une pizza est coupée en 8 parts. Tom mange 3 parts. Quelle fraction de la pizza a-t-il mangée ?
Évaluation — Les fractions
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours complet — Algèbre
Découvrir l’algèbre
L’algèbre sert à réfléchir sur des relations mathématiques, résoudre des problèmes, utiliser des inconnues et repérer des règles ou des structures.
Contrairement au calcul classique, on ne travaille pas toujours avec des nombres connus.
La pensée algébrique
La pensée algébrique consiste à observer, comparer, trouver une logique et généraliser une règle.
Exemple : 2 → 4 → 6 → 8. La règle est : on ajoute 2 à chaque fois.
Les motifs évolutifs
On apprend à reconnaître une structure répétitive ou une régularité qui évolue.
Question : combien de cases pour le carré 4 ? Réponse : 16 cases.
L’objectif est de trouver la logique cachée.
Représentations visuelles
Avant les lettres et les formules, on utilise des bandes, des tableaux, des figures et des suites visuelles.
Ces représentations rendent les concepts abstraits plus concrets.
- Compléter un motif.
- Continuer une suite.
- Retrouver une règle.
Les inconnues
Une inconnue est une valeur qu’on ne connaît pas encore.
3 + □ = 7
Question : quel nombre manque ? Réponse : 4.
Introduction aux lettres
Progressivement, on utilise une lettre à la place d’un nombre.
x + 3 = 7
Ici, x représente un nombre inconnu. La solution est x = 4.
Résoudre des problèmes simples
Tom a un nombre de billes. Il en gagne 3. Il possède maintenant 10 billes.
Mise en équation : x + 3 = 10.
Solution : x = 7. Tom avait donc 7 billes au départ.
Comprendre les relations
L’algèbre apprend à voir les liens entre les quantités.
Si un ticket coûte 5 € et qu’on achète 3 tickets, alors 3 × 5 = 15.
On peut généraliser : pour n tickets, le prix est n × 5.
Pré-algèbre
Les premières structures algébriques consistent à compléter des égalités, trouver des règles, utiliser des symboles et résoudre des situations simples.
5 + □ = 12
Exercices et activités
Types d’exercices : suites logiques, motifs évolutifs, nombres manquants, égalités à compléter, petits problèmes et tableaux de correspondance.
| Nombre | Double |
|---|---|
| 2 | 4 |
| 5 | 10 |
| 8 | ? |
Réponse : 16.
Objectifs pédagogiques
L’élève doit savoir reconnaître une régularité, compléter une suite, résoudre une égalité simple, utiliser une inconnue et comprendre une structure mathématique.
Il apprend aussi à passer du concret à l’abstrait.
Transition vers le collège avancé
Cette initiation prépare les équations, les fonctions, les calculs littéraux, le raisonnement logique et la résolution de problèmes complexes.
Mémo — Algèbre
Observer
On cherche une régularité dans une suite, un motif ou un tableau.
Inconnue
Une case vide ou une lettre représente un nombre à trouver : x + 3 = 7.
Généraliser
Une règle peut fonctionner pour plusieurs nombres : n × 5.
Résoudre
On utilise les informations du problème pour retrouver la valeur manquante.
Exercices — Algèbre
Exercice 1
Continue la suite : 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; ...
Exercice 2
Complète : 3 + □ = 7.
Exercice 3
Résous : x + 3 = 10.
Exercice 4
Un ticket coûte 5 €. Écris le prix de n tickets.
Tableau
Complète la règle “double” : 2 → 4, 5 → 10, 8 → ?
Évaluation — Algèbre
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours complet — Les longueurs
Découvrir les longueurs
Une longueur permet de mesurer une distance, une taille ou un contour.
L’unité principale est le mètre, noté m.
Les unités de longueur
Les principales unités se rangent de la plus grande à la plus petite.
| Unité | Symbole |
|---|---|
| Kilomètre | km |
| Hectomètre | hm |
| Décamètre | dam |
| Mètre | m |
| Décimètre | dm |
| Centimètre | cm |
| Millimètre | mm |
À retenir : chaque unité vaut 10 fois plus ou 10 fois moins que la suivante.
Comprendre les conversions
Relations importantes : 1 dm = 10 cm, 1 cm = 10 mm, 1 m = 100 cm.
Convertir des longueurs
Exemples : 2 m = 200 cm et 350 cm = 3,5 m.
Astuce pédagogique : utiliser un tableau de conversion, des flèches ou des animations de déplacement.
Les outils de mesure
Instruments utilisés : règle, mètre ruban, double décimètre et compas.
- Mesurer une longueur.
- Reporter une longueur.
- Tracer précisément.
Utiliser le compas
Le compas sert à reporter une distance, tracer des cercles et comparer des longueurs.
Activités possibles : reproduire une figure, tracer un cercle, reporter une mesure.
Le périmètre
Le périmètre est la longueur du contour d’une figure.
Rectangle : longueur = 8 cm, largeur = 3 cm.
P = 2 × (8 + 3) = 22 cm
Périmètre du carré
Formule : P = 4 × c, où c est le côté.
Exemple : pour un carré de 5 cm, P = 4 × 5 = 20 cm.
Périmètre du rectangle
Formule : P = 2 × (L + l).
Exemple : P = 2 × (6 + 4) = 20 cm.
Le cercle et le disque
Cercle = contour. Disque = surface intérieure.
Relation importante : le périmètre du cercle dépend du diamètre.
Périmètre d’un cercle
Formule : P = π × d, où d est le diamètre.
Exemple : si le diamètre vaut 10 cm, alors P ≈ 3,14 × 10 = 31,4 cm.
Figures composées
Certaines figures possèdent plusieurs côtés différents. Le périmètre se calcule en additionnant tous les côtés.
Exemple : 4 + 6 + 3 + 5 = 18 cm.
Résolution de problèmes
Types d’exercices : convertir des unités, mesurer des segments, calculer des périmètres et résoudre des problèmes du quotidien.
Un jardin rectangulaire mesure 12 m de long et 8 m de large.
P = 2 × (12 + 8) = 40 m
Objectifs pédagogiques
L’élève doit savoir reconnaître les unités, convertir des longueurs, utiliser les outils de mesure, calculer des périmètres et résoudre des problèmes géométriques.
Il doit aussi comprendre les relations entre les unités.
Mémo — Les longueurs
Unités
km, hm, dam, m, dm, cm, mm. Chaque passage vaut ×10 ou ÷10.
Conversions
1 m = 100 cm, 1 dm = 10 cm, 1 cm = 10 mm.
Périmètres
Carré : P = 4 × c. Rectangle : P = 2 × (L + l).
Cercle
Le contour du cercle se calcule avec P = π × d.
Exercices — Les longueurs
Exercice 1
Convertis : 2 m en centimètres.
Exercice 2
Convertis : 350 cm en mètres.
Exercice 3
Calcule le périmètre d’un carré de côté 5 cm.
Exercice 4
Calcule le périmètre d’un rectangle de longueur 6 cm et de largeur 4 cm.
Problème
Un jardin mesure 12 m de long et 8 m de large. Quel est son périmètre ?
Évaluation — Les longueurs
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours complet — Les aires
Découvrir les aires
L’aire représente la surface occupée par une figure.
Exemples : surface d’une chambre, surface d’un terrain, surface d’un écran.
Les unités d’aire
Les principales unités d’aire s’écrivent avec un exposant 2.
| Unité | Symbole |
|---|---|
| Mètre carré | m² |
| Décimètre carré | dm² |
| Centimètre carré | cm² |
1 cm² est l’aire d’un carré de 1 cm de côté.
Comprendre le cm²
1 cm² = 1 cm × 1 cm.
Cela représente un petit carré de 1 cm sur 1 cm.
Activités possibles : quadrillage, coloriage de cases, comptage de carreaux.
Comprendre le m²
1 m² = 1 m × 1 m : c’est un carré de 1 mètre de côté.
Exemples concrets : petite chambre, bureau, terrasse.
Relations entre les unités
Conversions importantes : 1 m² = 100 dm² et 1 dm² = 100 cm².
Les aires se convertissent par 100 et non par 10.
Convertir des aires
Exemples : 2 m² = 200 dm² et 5 dm² = 500 cm².
Calculer une aire avec un quadrillage
Méthode : on compte les carreaux.
Si une figure couvre 12 carreaux, alors A = 12 cm².
Aire du carré
Formule : A = c × c, où c est le côté.
Exemple : carré de 4 cm, A = 4 × 4 = 16 cm².
Aire du rectangle
Formule : A = L × l, avec L la longueur et l la largeur.
Exemple : longueur = 8 cm, largeur = 3 cm, donc A = 8 × 3 = 24 cm².
Comparer des aires
Deux figures peuvent avoir la même aire tout en ayant des formes différentes.
Activités possibles : découpage, assemblage, superposition.
Résolution de problèmes
Une pièce mesure 5 m de long et 4 m de large.
A = 5 × 4 = 20 m²
Exercices possibles
Types d’exercices : compter des carreaux, convertir des aires, calculer une aire, comparer des surfaces et résoudre des problèmes du quotidien.
Erreurs fréquentes
Attention à ne pas confondre les longueurs en cm et les aires en cm².
Objectifs pédagogiques
L’élève doit savoir reconnaître les unités d’aire, convertir des aires, calculer l’aire d’un carré et d’un rectangle, utiliser un quadrillage et résoudre des problèmes simples de surface.
Mémo — Les aires
Définition
L’aire mesure la surface intérieure d’une figure.
Unités
On utilise m², dm² et cm².
Conversions
Les aires se convertissent par 100 : 1 m² = 100 dm².
Formules
Carré : A = c × c. Rectangle : A = L × l.
Exercices — Les aires
Exercice 1
Compte les carreaux coloriés d’une figure sur quadrillage.
Exercice 2
Convertis : 2 m² en dm².
Exercice 3
Calcule l’aire d’un carré de côté 4 cm.
Exercice 4
Calcule l’aire d’un rectangle de longueur 8 cm et de largeur 3 cm.
Problème
Une pièce mesure 5 m de long et 4 m de large. Quelle est son aire ?
Évaluation — Les aires
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours complet — Les volumes
Découvrir les volumes
Le volume représente l’espace occupé par un objet.
Exemples : une boîte, une bouteille, une piscine, une chambre.
Les solides
Exemples de solides : cube, pavé droit, cylindre et sphère.
Activités possibles : manipuler des objets, empiler des cubes, comparer des contenants.
L’unité de volume
L’unité principale travaillée ici est le centimètre cube, noté cm³.
Un centimètre cube correspond à un cube de 1 cm de côté.
Comprendre le cm³
1 cm³ = 1 cm × 1 cm × 1 cm.
- Longueur.
- Largeur.
- Hauteur.
Comparer des volumes
Deux objets peuvent avoir des formes différentes et contenir le même volume.
Activités possibles : remplissage d’eau, empilement de cubes, comparaison de boîtes.
Déterminer un volume
On cherche combien de petits cubes remplissent un solide.
Si une boîte contient 12 cubes de 1 cm³, alors V = 12 cm³.
Volume du cube
Formule : V = c × c × c, où c est le côté.
Exemple : pour un cube de 3 cm, V = 3 × 3 × 3 = 27 cm³.
Volume du pavé droit
Formule : V = L × l × h.
L = longueur, l = largeur, h = hauteur.
Exemple : une boîte de longueur 5 cm, largeur 2 cm, hauteur 4 cm a pour volume V = 5 × 2 × 4 = 40 cm³.
Volume et capacité
Le volume est lié à la capacité.
Équivalence importante : 1 dm³ = 1 L.
Exemples : bouteille, aquarium, piscine.
Exercices possibles
Types d’activités : compter des cubes, comparer des volumes, calculer un volume, remplir des contenants et résoudre des problèmes.
Résolution de problèmes
Une boîte mesure 6 cm de long, 3 cm de large et 2 cm de haut.
V = 6 × 3 × 2 = 36 cm³
Erreurs fréquentes
Attention à ne pas confondre les unités.
Objectifs pédagogiques
L’élève doit savoir reconnaître les solides, comprendre le cm³, comparer des volumes, calculer un volume simple, utiliser les formules de base et résoudre des problèmes concrets.
Mémo — Les volumes
Définition
Le volume mesure l’espace occupé par un objet en 3 dimensions.
Unité
1 cm³ est un cube de 1 cm de côté.
Formules
Cube : V = c × c × c. Pavé droit : V = L × l × h.
Capacité
1 dm³ = 1 L.
Exercices — Les volumes
Exercice 1
Compte le nombre de cubes de 1 cm³ dans un solide.
Exercice 2
Calcule le volume d’un cube de côté 3 cm.
Exercice 3
Calcule le volume d’un pavé droit de dimensions 5 cm, 2 cm et 4 cm.
Exercice 4
Complète : 1 dm³ = ___ L.
Problème
Une boîte mesure 6 cm de long, 3 cm de large et 2 cm de haut. Quel est son volume ?
Évaluation — Les volumes
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours complet — Le repérage dans le temps et les durées
Découvrir le temps
Le temps permet d’organiser les journées, mesurer une durée et repérer des événements.
Lire l’heure
Sur une horloge à aiguilles, la petite aiguille indique les heures et la grande aiguille indique les minutes.
Sur un affichage digital, 14:35 signifie 14 heures 35 minutes.
Les unités de temps
| Unité | Valeur |
|---|---|
| 1 minute | 60 secondes |
| 1 heure | 60 minutes |
| 1 jour | 24 heures |
| 1 semaine | 7 jours |
| 1 année | 365 jours |
Relations entre les unités
Conversions importantes : 1 h = 60 min, 1 min = 60 s, 1 jour = 24 h.
Les fractions d’heure
- 1/2 h = 30 min : demi-heure.
- 1/4 h = 15 min : quart d’heure.
- 3/4 h = 45 min : trois quarts d’heure.
Placer les aiguilles
Activités possibles : afficher une heure donnée, déplacer les aiguilles, lire des horloges.
Exemple : à 8h30, la petite aiguille est entre 8 et 9, et la grande aiguille est sur le 6.
Calculer des durées
Départ : 14h15. Arrivée : 15h00.
Durée = 45 min
Convertir des durées
Exemples : 2 h = 120 min et 90 min = 1 h 30 min.
Les calendriers
Le calendrier permet de repérer les jours, organiser les mois et compter les années.
Notions importantes : année bissextile, siècles, millénaires.
Années, siècles et millénaires
Relations : 1 siècle = 100 ans et 1 millénaire = 1000 ans.
Résolution de problèmes
Un film commence à 18h20. Il dure 1h45.
18h20 + 1h45 = 20h05
Activités possibles
Exercices : lire l’heure, convertir des durées, compléter un calendrier, résoudre des problèmes horaires et calculer des temps de trajet.
Perspective historique
Les élèves peuvent découvrir les calendriers solaires, calendriers lunaires, le calendrier grégorien, les cadrans anciens et les clepsydres.
Erreurs fréquentes
Attention : 1h30 ne veut pas dire 1,30 heure. Cela signifie 1 h 30 min.
1 h = 100 minutes est faux. La bonne relation est 1 h = 60 min.
Objectifs pédagogiques
L’élève doit savoir lire l’heure, utiliser une horloge, convertir des durées, résoudre des problèmes de temps, utiliser un calendrier et comprendre les unités temporelles.
Mémo — Temps et durées
Lire l’heure
Petite aiguille : heures. Grande aiguille : minutes.
Conversions
1 h = 60 min, 1 min = 60 s, 1 jour = 24 h.
Fractions d’heure
1/2 h = 30 min, 1/4 h = 15 min, 3/4 h = 45 min.
Calendrier
1 siècle = 100 ans, 1 millénaire = 1000 ans.
Exercices — Temps et durées
Exercice 1
Lis l’heure affichée sur une horloge à aiguilles.
Exercice 2
Convertis : 2 h en minutes.
Exercice 3
Convertis : 90 min en heures et minutes.
Exercice 4
Calcule la durée entre 14h15 et 15h00.
Problème
Un film commence à 18h20 et dure 1h45. À quelle heure finit-il ?
Évaluation — Temps et durées
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours complet — Étude de configurations planes
Découvrir la géométrie plane
La géométrie plane étudie les figures, les longueurs, les angles et les positions dans le plan.
Le vocabulaire géométrique
| Objet | Description |
|---|---|
| Point | position |
| Segment | portion de droite |
| Droite | ligne infinie |
| Demi-droite | ligne avec une origine |
Activités possibles : tracer, nommer, identifier.
Les instruments de géométrie
Outils utilisés : règle, équerre, compas et rapporteur.
- Tracer proprement.
- Mesurer.
- Construire des figures.
Les distances
La distance entre deux points correspond à la longueur du segment reliant ces deux points.
AB = 5 cm
Le milieu d’un segment
Le milieu d’un segment est le point situé exactement au centre.
Propriété : AM = MB. M est le milieu du segment [AB].
Les cercles et les disques
Cercle : contour formé par tous les points à la même distance du centre.
Disque : surface intérieure du cercle.
Rayon et diamètre
Le rayon relie le centre à un point du cercle. Le diamètre passe par le centre et relie deux points du cercle.
d = 2 × r
La médiatrice d’un segment
La médiatrice coupe un segment en son milieu et est perpendiculaire au segment.
Tous les points de la médiatrice sont à égale distance des extrémités du segment.
Découvrir les angles
Un angle est l’ouverture entre deux demi-droites.
| Type | Mesure |
|---|---|
| Angle droit | 90° |
| Angle aigu | inférieur à 90° |
| Angle obtus | supérieur à 90° |
| Angle plat | 180° |
Mesurer un angle
Avec un rapporteur, on place le centre, on lit les graduations et on mesure précisément.
90°
Construire un angle
Exemple : construire un angle de 45°.
- Tracer une demi-droite.
- Placer le rapporteur.
- Marquer la mesure.
- Tracer la seconde demi-droite.
La bissectrice
La bissectrice partage un angle en deux angles égaux.
∠A = ∠B
Les triangles
| Triangle | Particularité |
|---|---|
| Rectangle | un angle droit |
| Isocèle | deux côtés égaux |
| Équilatéral | trois côtés égaux |
Somme des angles d’un triangle
Propriété importante : la somme des angles d’un triangle vaut toujours 180°.
Construire des triangles
Activités : construction avec règle, construction avec compas, utilisation des longueurs.
Trois longueurs ne permettent pas toujours de construire un triangle.
Les médiatrices d’un triangle
Les médiatrices d’un triangle se coupent en un même point.
Ce point est le centre du cercle circonscrit.
Cercle circonscrit
Le cercle circonscrit passe par les trois sommets du triangle.
- Tracer les médiatrices.
- Trouver leur intersection.
- Tracer le cercle.
La symétrie axiale
Une figure symétrique est une image miroir par rapport à une droite.
Vocabulaire : axe de symétrie, figure symétrique.
Construire une symétrie
Méthode : mesurer les distances à l’axe, reporter les points, reconstruire la figure.
Activités possibles : papier quadrillé, pliage, miroir.
Codages géométriques
- Petits traits : longueurs égales.
- Arcs : angles égaux.
- Carré : angle droit.
Objectif : lire rapidement une figure géométrique.
Raisonnement géométrique
L’élève apprend à observer, justifier, démontrer et expliquer ses constructions.
Exercices possibles
Activités : tracer des figures, mesurer des angles, construire des triangles, utiliser le compas, compléter des symétries et résoudre des problèmes géométriques.
Objectifs pédagogiques
L’élève doit savoir utiliser les instruments, reconnaître les figures, mesurer des distances, construire des angles, travailler sur les triangles, utiliser la symétrie et raisonner géométriquement.
Mémo — Configurations planes
Objets
Point, segment, droite, demi-droite.
Cercle
Rayon et diamètre : d = 2 × r.
Angles
Droit : 90°, plat : 180°. La bissectrice partage un angle en deux angles égaux.
Triangles
La somme des angles d’un triangle vaut 180°.
Exercices — Configurations planes
Exercice 1
Nomme un point, un segment, une droite et une demi-droite sur une figure.
Exercice 2
Trace un segment [AB] de longueur 5 cm, puis place son milieu.
Exercice 3
Mesure un angle avec un rapporteur et indique son type.
Exercice 4
Construis un triangle à partir de longueurs données quand c’est possible.
Symétrie
Complète une figure par symétrie axiale sur papier quadrillé.
Évaluation — Configurations planes
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours complet — La vision dans l’espace
Découvrir l’espace
La géométrie dans l’espace étudie les objets en 3 dimensions : longueur, largeur et hauteur.
Exemples : cube, boîte, balle, cylindre.
Les solides
| Solide | Description |
|---|---|
| Cube | 6 faces carrées |
| Pavé droit | boîte rectangulaire |
| Cylindre | deux bases rondes |
| Boule | sphère pleine |
| Cône | base ronde + pointe |
| Pyramide | base + sommet |
Reconnaître les solides
L’élève doit savoir identifier cubes, cylindres, pavés, cônes, pyramides, boules et prismes.
Activités possibles : tri d’objets, association image ↔ solide, observation d’objets du quotidien.
Le cube
Le cube possède 6 faces carrées, 12 arêtes et 8 sommets.
Exemples concrets : dé, Rubik’s Cube, cube de construction.
Le pavé droit
Le pavé droit est un solide en forme de boîte rectangulaire.
Ses faces sont rectangulaires et ses longueurs peuvent être différentes.
Exemples : carton, livre, armoire.
Le cylindre
Le cylindre possède deux bases circulaires et une surface courbe.
Exemples : canette, verre, rouleau.
Le cône
Le cône possède une base circulaire et une pointe appelée sommet.
Exemples : cornet de glace, cône de chantier.
La pyramide
La pyramide est composée d’une base et de faces triangulaires.
Exemple : les pyramides d’Égypte.
La boule
La boule est un solide parfaitement rond.
Exemples : ballon, bille, planète.
Les assemblages de cubes
Les figures peuvent être construites avec plusieurs cubes.
Activités : empiler des cubes, compter les cubes cachés, reproduire une construction.
Voir dans l’espace
L’élève apprend à imaginer un objet en 3D, reconnaître différentes vues et comprendre les perspectives.
Représentations en 2D
Un solide peut être représenté de face, de dessus ou de côté.
Activités possibles : dessiner des vues, associer une vue à un solide.
Dénombrement de cubes
Une construction possède 3 cubes en bas et 2 cubes au-dessus.
3 + 2 = 5
Construire des solides
Activités : pliage, assemblage, patrons, manipulation.
Objectifs : comprendre les faces, les arêtes et les sommets.
Le vocabulaire des solides
| Mot | Définition |
|---|---|
| Face | surface du solide |
| Arête | bord entre deux faces |
| Sommet | coin du solide |
Exercices possibles
Types d’activités : reconnaître des solides, compter des cubes, compléter des assemblages, dessiner des vues et construire des patrons.
Objets du quotidien
| Objet | Solide |
|---|---|
| Canette | cylindre |
| Dé | cube |
| Ballon | boule |
| Boîte | pavé droit |
Raisonnement spatial
L’élève apprend à se repérer, observer, anticiper et visualiser des constructions.
Objectifs pédagogiques
L’élève doit savoir reconnaître les solides, utiliser le vocabulaire géométrique, voir des assemblages dans l’espace, passer du 3D au 2D, compter des cubes et comprendre les représentations spatiales.
Mémo — Vision dans l’espace
Dimensions
Un objet en 3D possède longueur, largeur et hauteur.
Solides
Cube, pavé droit, cylindre, boule, cône, pyramide.
Vocabulaire
Face, arête, sommet.
Vues
Un solide peut être vu de face, de dessus ou de côté.
Exercices — Vision dans l’espace
Exercice 1
Associe chaque objet du quotidien à son solide : dé, canette, ballon, boîte.
Exercice 2
Compte les cubes d’un assemblage, y compris les cubes cachés.
Exercice 3
Dessine les vues de face, de dessus et de côté d’un solide.
Exercice 4
Indique les faces, arêtes et sommets d’un cube.
Construction
Construis un patron simple puis assemble le solide.
Évaluation — Vision dans l’espace
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours complet — Organisation et gestion de données
Découvrir les données
Une donnée est une information recueillie.
Les enquêtes
Une enquête permet de collecter des informations.
- Poser une question.
- Recueillir les réponses.
- Organiser les données.
- Analyser les résultats.
Exemple : “Quel est votre fruit préféré ?”
Organiser les données
Les résultats sont rangés dans un tableau.
| Fruit | Nombre |
|---|---|
| Pomme | 8 |
| Banane | 5 |
| Fraise | 12 |
Lire un tableau
L’élève apprend à trouver une information, comparer des valeurs et lire rapidement des données.
Questions possibles : quel fruit est le plus choisi ? Combien d’élèves préfèrent la banane ?
Les diagrammes en barres
Un diagramme en barres représente des quantités avec des colonnes.
Objectifs : comparer facilement des données et visualiser les résultats.
Activités possibles : créer un graphique, compléter des barres, interpréter les résultats.
Les diagrammes circulaires
Le diagramme circulaire partage un cercle en plusieurs parts. Chaque part représente une proportion.
Exemple : 50 % football, 25 % basket, 25 % tennis.
Les courbes
Une courbe montre une évolution dans le temps.
Exemples : température de la semaine, évolution des ventes, croissance d’une plante.
Lire des graphiques
L’élève doit savoir identifier les axes, lire les valeurs et comparer les résultats.
Questions possibles : quelle valeur est la plus grande ? Quelle journée est la plus chaude ?
Réaliser des mesures
Activités possibles : mesurer une taille, mesurer une température, chronométrer une durée.
Les résultats sont ensuite placés dans un tableau.
Trier et filtrer des données
On peut sélectionner certaines données selon un critère.
Exemples : garder seulement les élèves de 11 ans, afficher uniquement les scores supérieurs à 10.
Comparer des données
L’élève apprend à comparer des quantités, repérer des différences et analyser des résultats.
15 > 9
Utiliser les données dans la vie réelle
Exemples : météo, sondages, statistiques sportives, écologie, pollution, biodiversité.
Interpréter des résultats
Les élèves apprennent à tirer des conclusions, expliquer des résultats et argumenter.
Exemple : “Le football est le sport préféré car il possède le plus grand nombre de votes.”
Activités possibles
Exercices : compléter un tableau, lire un graphique, créer un diagramme, réaliser une enquête et analyser des résultats.
Erreurs fréquentes
- Ne pas confondre lignes et colonnes.
- Bien lire les axes.
- Vérifier les unités.
- Respecter les échelles.
Utilisation numérique
Outils possibles : tableurs, graphiques interactifs, sondages en ligne, tableaux dynamiques.
Objectifs pédagogiques
L’élève doit savoir recueillir des données, organiser des informations, lire un tableau, interpréter un graphique, réaliser une enquête, comparer des résultats et développer son esprit critique.
Mémo — Organisation et gestion de données
Donnée
Une information recueillie lors d’une mesure ou d’une enquête.
Tableau
Il organise les résultats en lignes et colonnes.
Graphique
Barres, cercle ou courbe permettent de visualiser les résultats.
Interpréter
On tire une conclusion en s’appuyant sur les valeurs.
Exercices — Organisation et gestion de données
Exercice 1
Complète un tableau avec les réponses d’une enquête.
Exercice 2
Lis le tableau des fruits et trouve le fruit le plus choisi.
Exercice 3
Construis un diagramme en barres à partir d’un tableau.
Exercice 4
Lis une courbe de température et trouve la journée la plus chaude.
Analyse
Écris une phrase pour interpréter les résultats d’un sondage.
Évaluation — Organisation et gestion de données
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours complet — Les probabilités
Découvrir les probabilités
Une probabilité permet de mesurer les chances qu’un événement se produise.
Les expériences aléatoires
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne connaît pas le résultat à l’avance.
Exemples : pile ou face, résultat d’un dé, loto.
Les issues possibles
Les issues sont tous les résultats possibles.
Pour une pièce : pile ou face. Pour un dé : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Les événements
Un événement correspond à un ou plusieurs résultats.
Exemple : “obtenir un nombre pair”. Issues favorables : 2, 4, 6.
Situation d’équiprobabilité
Tous les résultats ont la même chance d’apparaître.
Exemple : avec un dé équilibré, chaque face possède la même probabilité.
Calculer une probabilité
Formule : P = cas favorables / cas possibles.
Obtenir un 6 avec un dé : P = 1/6.
Probabilité entre 0 et 1
Une probabilité est toujours comprise entre 0 ≤ P ≤ 1.
| Valeur | Sens |
|---|---|
| 0 | impossible |
| 1 | certain |
| proche de 0 | peu probable |
| proche de 1 | très probable |
Écriture des probabilités
Une probabilité peut s’écrire sous forme de fraction, nombre décimal ou pourcentage.
- 1/2
- 0,5
- 50 %
Les expériences répétées
Plus une expérience est répétée, plus les résultats se rapprochent de la probabilité théorique.
Lancer une pièce : sur 10 lancers, les résultats varient ; sur 1000 lancers, on obtient environ moitié pile, moitié face.
Expériences indépendantes
Deux expériences sont indépendantes si le premier résultat ne change pas le second.
Exemple : lors de deux lancers de pièce, le deuxième lancer ne dépend pas du premier.
Tableaux et probabilités
Les tableaux permettent d’organiser les résultats et de compter les cas possibles.
Activités possibles : tableaux à double entrée, comptage de combinaisons.
Comparer résultats et probabilités
On compare les résultats obtenus avec les probabilités calculées.
Probabilité théorique : 1/2. Résultat expérimental : 48 % de pile sur 100 lancers.
Vocabulaire des probabilités
| Mot | Signification |
|---|---|
| Expérience | action aléatoire |
| Issue | résultat possible |
| Événement | groupe de résultats |
| Probabilité | chance qu’un événement arrive |
Exercices possibles
Activités : lancer des dés, tirer des cartes, calculer des probabilités simples, compléter des tableaux, comparer résultats réels et théoriques.
Situations concrètes
Applications dans la vie réelle : météo, jeux, statistiques sportives, sondages, risques.
Erreurs fréquentes
Une probabilité ne peut pas être supérieure à 1 : 1,5 est incorrect.
Une probabilité négative est impossible : -0,2 est incorrect.
Objectifs pédagogiques
L’élève doit savoir comprendre le hasard, identifier les issues possibles, calculer des probabilités simples, utiliser des fractions et pourcentages, comparer théorie et expérience et raisonner sur des situations aléatoires.
Mémo — Les probabilités
Hasard
Une expérience aléatoire a un résultat inconnu à l’avance.
Issues
Ce sont tous les résultats possibles.
Formule
P = cas favorables / cas possibles.
Bornes
Une probabilité est toujours entre 0 et 1.
Exercices — Les probabilités
Exercice 1
Liste les issues possibles d’un lancer de dé.
Exercice 2
Calcule la probabilité d’obtenir pile avec une pièce équilibrée.
Exercice 3
Calcule la probabilité d’obtenir un nombre pair avec un dé.
Exercice 4
Compare une probabilité théorique avec un résultat expérimental.
Tableau
Complète un tableau à double entrée pour deux lancers.
Évaluation — Les probabilités
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours complet — Reconnaître et utiliser la proportionnalité
Découvrir la proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu’on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre.
| Quantité | Prix |
|---|---|
| 1 kg | 4 € |
| 2 kg | 8 € |
| 3 kg | 12 € |
Ici, on multiplie toujours par 4.
Reconnaître une situation de proportionnalité
On vérifie si le rapport reste constant et si on multiplie toujours par le même nombre.
Exemple : 2 × 3 = 6 et 4 × 3 = 12. La situation est proportionnelle.
Les expressions multiplicatives
Quelques relations utiles :
- Double : 2 × n.
- Triple : 3 × n.
- Moitié : n / 2.
- Quart : n / 4.
Les tableaux de proportionnalité
Un tableau permet d’organiser les données, trouver des valeurs manquantes et comprendre les relations.
| Nombre d’articles | Prix |
|---|---|
| 1 | 5 € |
| 2 | 10 € |
| 4 | 20 € |
Le coefficient de proportionnalité
Le coefficient est le nombre utilisé pour passer d’une ligne à l’autre.
Exemple : Prix = Quantité × 5. Le coefficient est 5.
Calculer avec la proportionnalité
3 stylos coûtent 6 €. Un stylo coûte 6 ÷ 3 = 2.
Donc : 1 stylo = 2 €.
Utiliser la multiplication
Si 1 ticket = 4 €, alors 5 × 4 = 20.
5 tickets coûtent 20 €.
Utiliser l’addition
Si 2 kg = 8 €, alors 4 kg = 2 kg + 2 kg.
Donc : 8 + 8 = 16.
Retour à l’unité
On cherche d’abord la valeur pour 1 unité.
5 cahiers coûtent 15 €. Prix d’un cahier : 15 ÷ 5 = 3.
Représentations graphiques
Outils possibles : tableaux, schémas, flèches, graphiques.
Exemple : 2 → 8, multiplication par 4.
Situations de la vie quotidienne
Exemples : prix au kilo, vitesse, recettes de cuisine, distances, temps, promotions.
Identifier une non-proportionnalité
Toutes les situations ne sont pas proportionnelles.
| Personnes | Prix |
|---|---|
| 1 | 10 € |
| 2 | 18 € |
Le coefficient change : ce n’est pas proportionnel.
Résolution de problèmes
4 bouteilles coûtent 12 €. Combien coûtent 7 bouteilles ?
Prix d’une bouteille : 12 ÷ 4 = 3.
Prix de 7 bouteilles : 7 × 3 = 21. Réponse : 21 €.
Vocabulaire important
| Mot | Signification |
|---|---|
| Grandeur | quantité mesurable |
| Coefficient | nombre multiplicateur |
| Proportionnalité | relation multiplicative constante |
| Retour à l’unité | calcul pour 1 unité |
Exercices possibles
Activités : compléter un tableau, trouver un coefficient, résoudre des problèmes, reconnaître une proportionnalité, utiliser des graphiques.
Erreurs fréquentes
- Ne pas additionner au lieu de multiplier.
- Vérifier que le coefficient reste constant.
- Bien identifier les unités.
Objectifs pédagogiques
L’élève doit savoir reconnaître une situation proportionnelle, utiliser un tableau, calculer une valeur manquante, utiliser le retour à l’unité, résoudre des problèmes du quotidien et comprendre les relations multiplicatives.
Mémo — Proportionnalité
Définition
On multiplie toujours par le même nombre.
Coefficient
C’est le nombre multiplicateur constant.
Retour à l’unité
On calcule d’abord la valeur pour 1.
Vigilance
Si le coefficient change, ce n’est pas proportionnel.
Exercices — Proportionnalité
Exercice 1
Complète un tableau où 1 kg coûte 4 €.
Exercice 2
Trouve le coefficient dans le tableau 1 article → 5 €, 2 articles → 10 €.
Exercice 3
Calcule le prix de 7 bouteilles si 4 bouteilles coûtent 12 €.
Exercice 4
Décide si le tableau 1 personne → 10 €, 2 personnes → 18 € est proportionnel.
Retour à l’unité
5 cahiers coûtent 15 €. Combien coûte 1 cahier ?
Évaluation — Proportionnalité
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours complet — Initiation à la pensée informatique
Découvrir la pensée informatique
La pensée informatique consiste à résoudre des problèmes, organiser des actions, donner des instructions précises et automatiser des tâches.
Les instructions
Une instruction est une action simple à exécuter.
Exemples : avancer, tourner à droite, tourner à gauche, sauter.
Activités possibles : donner des consignes, guider un camarade, déplacer un robot virtuel.
Les séquences d’instructions
Une séquence est une suite d’instructions exécutées dans l’ordre.
Produire une séquence
L’élève apprend à organiser des étapes, respecter un ordre logique et prévoir le résultat.
Pour sortir d’un labyrinthe : avancer, tourner, recommencer.
Exécuter une séquence
L’ordinateur ou le robot suit exactement les instructions données.
Une erreur dans les instructions produit un mauvais résultat.
Les répétitions
Une répétition permet de refaire plusieurs fois la même action.
Exemple : 3 × avancer au lieu d’écrire avancer, avancer, avancer.
Les boucles
Une boucle sert à automatiser des répétitions.
Exemple : Répéter 5 fois : avancer, tourner.
Activités possibles : dessins géométriques, déplacements automatiques, parcours.
Entrées et sorties
Entrées
clic, clavier, capteur, souris
Sorties
image, son, mouvement, texte
Les algorithmes
Un algorithme est une méthode précise pour résoudre un problème.
Exemple : une recette avec des étapes comme prendre les ingrédients, mélanger, cuire.
Les conditions simples
Le programme peut prendre une décision.
SI obstacle ALORS tourner
Programmer un chemin
Activité principale : créer un parcours simple pour un robot, un personnage ou un véhicule virtuel.
Découverte de Scratch
Scratch est un logiciel de programmation visuelle avec des blocs.
Objectifs : apprendre sans écrire de code compliqué et assembler des blocs logiques.
Les blocs de programmation
Exemples de blocs : mouvement, répétition, événement, contrôle, son.
Activités possibles : créer une animation, déplacer un personnage, construire un mini-jeu.
Suites évolutives et tableur
Le tableur permet d’observer des suites, faire des calculs automatiques et organiser des données.
| Nombre | Double |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 6 |
Décomposer un problème
La pensée informatique apprend à découper un problème, résoudre étape par étape et simplifier les tâches.
Corriger les erreurs
Le débogage consiste à chercher une erreur, corriger le programme et tester à nouveau.
Exemple : si le personnage tourne du mauvais côté, il faut vérifier les instructions.
Activités possibles
Exercices : programmer un robot, créer un labyrinthe, utiliser Scratch, reproduire une figure, compléter une suite logique.
Compétences développées
L’élève apprend à raisonner logiquement, organiser des actions, prévoir des résultats, résoudre des problèmes et travailler étape par étape.
Liens avec les mathématiques
La pensée informatique aide à comprendre les suites, utiliser la logique, résoudre des problèmes et travailler les repérages.
Objectifs pédagogiques
L’élève doit savoir identifier des instructions, créer une séquence, utiliser des répétitions, programmer un déplacement simple, comprendre les bases d’un algorithme et découvrir la programmation visuelle.
Mémo — Pensée informatique
Instruction
Une action simple à exécuter.
Séquence
Une suite d’instructions dans l’ordre.
Boucle
Elle répète automatiquement des actions.
Débogage
On cherche, corrige et teste une erreur.
Exercices — Pensée informatique
Exercice 1
Écris une séquence pour déplacer un robot jusqu’à une case cible.
Exercice 2
Remplace trois instructions identiques par une répétition.
Exercice 3
Complète : SI obstacle ALORS ___.
Exercice 4
Trouve l’erreur dans une séquence qui fait tourner le personnage du mauvais côté.
Tableur
Complète une suite de doubles : 1, 2, 3, ...
Évaluation — Pensée informatique
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Autres contenus
Les autres cours et exercices du programme générique seront ajoutés progressivement.