Suites numériques

Exercices — Suites numériques

Exercice 1

uₙ = 3 + 2n. Est-elle arithmétique ? Quelle raison ? u₁₀ ?

Correction

Oui, raison r = 2. u₁₀ = 3 + 20 = 23.

Exercice 2

v₀ = 5, vₙ₊₁ = 1,1 vₙ. Expression de vₙ et v₅.

Correction

vₙ = 5 × 1,1ⁿ. v₅ = 5 × 1,1⁵ ≈ 8,05.

Exercice 3

Somme des 10 premiers termes de uₙ = 2n (n de 0 à 9).

Correction

Suite 0,2,…,18. S = 10×(0+18)/2 = 90.

Exercice 4

Une population augmente de 3 % par an. Quel type de suite ?

Correction

Suite géométrique de raison 1,03.

Polynôme du second degré

Une fonction polynôme du second degré s’écrit \(f(x)=ax^2+bx+c\) avec \(a\neq 0\). On l’appelle aussi trinôme.

• \(a\) : coefficient dominant ; \(b\) : coefficient de \(x\) ; \(c\) : terme constant (\(f(0)=c\)).
• La courbe est une parabole.
• Si \(a>0\), la parabole est tournée vers le haut ; si \(a<0\), vers le bas.

Discriminant et racines

Le discriminant est \(\Delta=b^2-4ac\).

Exemple — \(2x^2-3x-2=0\) : \(\Delta=9+16=25\), \(x=\dfrac{3\pm 5}{4}\), donc \(x=2\) ou \(x=-\dfrac{1}{2}\).

Somme et produit des racines

Si \(\Delta\ge 0\) et \(x_1\), \(x_2\) sont les racines (éventuellement égales) :

• Somme : \(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\).
• Produit : \(x_1 x_2=\dfrac{c}{a}\).

Ces relations permettent de vérifier un calcul ou de factoriser rapidement.

Factorisation

• Si \(\Delta>0\) : \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\).
• Si \(\Delta=0\) : \(ax^2+bx+c=a(x-x_0)^2\).
• Si \(\Delta<0\) : pas de factorisation dans \(\mathbb{R}\) avec des facteurs du premier degré.

Exemple — \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\).

Forme canonique et sommet

On peut écrire \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\) avec \(\alpha=-\dfrac{b}{2a}\) et \(\beta=f(\alpha)\).

• Le point \(S(\alpha;\beta)\) est le sommet de la parabole.
• L’axe de symétrie a pour équation \(x=\alpha\).
• Si \(a>0\), \(f\) admet un minimum \(\beta\) ; si \(a<0\), un maximum \(\beta\).

Exemple — \(f(x)=x^2-6x+1\) : \(\alpha=3\), \(f(3)=-8\), sommet \((3;-8)\).

Signe du trinôme

Le signe de \(f(x)\) se lit avec le signe de \(a\) et la position par rapport aux racines.

• Règle : \(f\) est du signe de \(a\) à l’extérieur des racines, et du signe opposé entre les racines (si \(\Delta>0\)).
• Si \(\Delta=0\), \(f\) est du signe de \(a\), sauf en \(x_0\) où \(f=0\).
• Si \(\Delta<0\), \(f\) est toujours du signe de \(a\).

Parabole et lecture graphique

• Points d’intersection avec l’axe des abscisses : les racines (\(f(x)=0\)).
• Intersection avec l’axe des ordonnées : \(c=f(0)\).
• Sommet = extremum ; axe \(x=\alpha\).

Exemple — \(f(x)=-x^2+2x\) : \(a<0\), \(\alpha=1\), \(f(1)=1\), sommet \((1;1)\), maximum.

Équations et inéquations

• Résoudre \(f(x)=0\) : calculer \(\Delta\), puis les racines.
• Résoudre \(f(x)>0\) ou \(f(x)\le 0\) : tableau de signes du trinôme.
• On peut aussi lire la solution sur la parabole (au-dessus / en dessous de l’axe).

Exemple — \(x^2-4x+3>0\) : racines 1 et 3 ; solution \(x\in\,]-\infty;1[\,\cup\,]3;+\infty[\).

Exercices — Second degré

Nombre dérivé

Soit \(f\) définie au voisinage de \(a\). Le nombre dérivé de \(f\) en \(a\) est, lorsqu’elle existe :

\[ f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}. \]

• Le quotient \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\) est le taux de variation entre \(a\) et \(a+h\).
• Si la limite existe, on dit que \(f\) est dérivable en \(a\).
• Interprétation : \(f'(a)\) est la pente de la courbe « au point » d’abscisse \(a\).

Tangente et approximation affine

Si \(f\) est dérivable en \(a\), la tangente à la courbe en \(A(a;f(a))\) a pour équation :

\[ y=f'(a)(x-a)+f(a). \]

• Approximation affine : pour \(h\) petit, \(f(a+h)\approx f(a)+f'(a)\,h\).
• Utile pour estimer une valeur sans calculatrice précise.

Exemple — \(f(x)=x^2\), \(a=3\) : \(f'(x)=2x\), \(f'(3)=6\), tangente \(y=6(x-3)+9=6x-9\).

Fonction dérivée

Si \(f\) est dérivable en tout point d’un intervalle \(I\), la fonction \(x\mapsto f'(x)\) est la fonction dérivée de \(f\).

Opérations sur les dérivées

Si \(u\) et \(v\) sont dérivables, et \(k\) une constante :

• \((u+v)'=u'+v'\) ; \((ku)'=k u'\).
• Produit : \((uv)'=u'v+uv'\).
• Quotient : \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\) (\(v\neq 0\)).
• \(\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}\).

Exemple — \(f(x)=(2x+1)(x^2-3)\) : \(f'(x)=2(x^2-3)+(2x+1)(2x)=6x^2+2x-6\).

Dérivée de \(x\mapsto u(ax+b)\)

Si \(u\) est dérivable, alors \(\bigl(u(ax+b)\bigr)'=a\,u'(ax+b)\).

• \(\bigl((2x+1)^3\bigr)'=3\times 2\times(2x+1)^2=6(2x+1)^2\).
• \(\bigl(e^{3x}\bigr)'=3e^{3x}\).

Sens de variation

Sur un intervalle \(I\) où \(f\) est dérivable :

• si \(f'(x)\ge 0\) sur \(I\) (et \(f'\) non identiquement nulle sur un sous-intervalle ouvert), alors \(f\) est croissante sur \(I\) ;
• si \(f'(x)\le 0\), alors \(f\) est décroissante sur \(I\).

Méthode : calculer \(f'\), factoriser, tableau de signes, puis tableau de variations.

Exemple — \(f(x)=x^3-3x\) : \(f'(x)=3(x-1)(x+1)\). \(f\) croît sur \(]-\infty;-1]\) et \([1;+\infty[\), décroît sur \([-1;1]\).

Extremums locaux

• Si \(f'\) s’annule en \(c\) en changeant de signe, \(f\) admet un extremum local en \(c\).
• \(f'\) passe de + à − : maximum local ; de − à + : minimum local.
• Attention : \(f'(c)=0\) ne suffit pas (point d’inflexion horizontal possible).

Lien courbe / dérivée

• Pentes positives sur la courbe \(\Leftrightarrow\) \(f'>0\).
• Tangente horizontale \(\Leftrightarrow\) \(f'=0\).
• La dérivée se lit comme pente ; la primitive (en terminale) « remontera » de \(f'\) à \(f\).

Exercices — Dérivation

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle, notée \(\exp\) ou \(x\mapsto e^x\), est l’unique fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que :

• \(f'=f\) ;
• \(f(0)=1\).

On pose \(e=e^1\approx 2{,}718\). Ainsi \(\exp(x)=e^x\).

Équation différentielle \(y'=y\)

Les solutions de \(y'=y\) sont les fonctions \(x\mapsto C e^x\), où \(C\) est une constante réelle.

• Si de plus \(y(0)=1\), alors \(C=1\) et \(y(x)=e^x\).
• Plus généralement, \(y'=ky\) a pour solutions \(y(x)=C e^{kx}\).

Exemple — Croissance continue à taux 3 % : modèle \(y'=0{,}03\,y\), solutions \(y(x)=y_0 e^{0{,}03 x}\).

Propriétés algébriques

Pour tous réels \(x\), \(y\) :

• \(e^{x+y}=e^x e^y\) ;
• \(e^{x-y}=\dfrac{e^x}{e^y}\) ;
• \(e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}\) ;
• \((e^x)^n=e^{nx}\) pour \(n\in\mathbb{Z}\) (et plus généralement pour les exposants réels).
• \(e^x>0\) pour tout \(x\) ; \(e^x=1\Leftrightarrow x=0\).

Variations et courbe

• \((e^x)'=e^x>0\) : la fonction est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
• \(\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty\) ; \(\lim_{x\to-\infty}e^x=0\).
• Courbe au-dessus de l’axe des abscisses ; tangente en 0 : \(y=x+1\).

Dérivées utiles

• \((e^x)'=e^x\).
• \((e^{ax+b})'=a e^{ax+b}\).
• \((e^{u})'=u' e^{u}\) si \(u\) est dérivable (formule vue avec la composition).

Exemple — \(f(x)=e^{-2x}\) : \(f'(x)=-2e^{-2x}\).

Équations et inéquations

Comme \(x\mapsto e^x\) est bijective de \(\mathbb{R}\) vers \(]0;+\infty[\) :

• \(e^A=e^B\Leftrightarrow A=B\).
• \(e^A=k\) (\(k>0\)) \(\Leftrightarrow A=\ln k\) (le logarithme sera développé en terminale ; en 1ʳᵉ on peut laisser la forme ou utiliser la calculatrice).
• \(e^A<e^B\Leftrightarrow A<B\) (croissance).

Exemple — \(e^{2x-1}=e^{3}\) \(\Leftrightarrow 2x-1=3\Leftrightarrow x=2\).

Équations avec produits et sommes

• \(e^{2x}-e^x=0\Leftrightarrow e^x(e^x-1)=0\Leftrightarrow e^x=1\) (car \(e^x\neq 0\)) \(\Leftrightarrow x=0\).
• Factoriser dès que possible ; se ramener à \(e^{\ldots}=e^{\ldots}\) ou à une équation du second degré en posant \(X=e^x\).

Exemple — \(e^{2x}-3e^x+2=0\). Poser \(X=e^x>0\) : \(X^2-3X+2=0\), \(X=1\) ou \(X=2\), donc \(x=0\) ou \(x=\ln 2\).

Applications et étude de fonctions

• Croissance / décroissance continue (biologie, radioactivité : \(N(t)=N_0 e^{-\lambda t}\)).
• Lien avec les suites géométriques : \(q^n=e^{n\ln q}\) (aperçu).
• Étude de \(f(x)=e^x-x\) : \(f'(x)=e^x-1\), critique en \(x=0\), minimum \(f(0)=1\).
• Comparer \(e^x\) et des droites : pour \(x>0\), la croissance de \(e^x\) dépasse toute droite de pente fixe (idée qualitative).

Exemple — Une population double en temps continu selon \(P(t)=P_0 e^{kt}\). Si elle double en 10 ans : \(e^{10k}=2\), d’où \(k=\dfrac{\ln 2}{10}\). On retrouve ensuite \(P(t)=P_0\,2^{t/10}\).

En exercice, on combine souvent factorisation, tableau de signes de \(f'\) et lecture de limites pour conclure sur les variations et les éventuels extremums.

Exercices — Fonction exponentielle

Cercle trigonométrique et radian

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1. Un réel \(x\) est associé au point \(M(x)\) obtenu en enroulant l’axe réel sur le cercle (sens direct = sens antihoraire) à partir de \(A(1;0)\).

• Le radian : une mesure d’angle égale à la longueur de l’arc sur le cercle unité.
• Un tour complet : \(2\pi\) radians \(=360^\circ\).
• \(\pi\) rad \(=180^\circ\) ; \(\dfrac{\pi}{2}\) rad \(=90^\circ\) ; \(\dfrac{\pi}{3}=60^\circ\) ; \(\dfrac{\pi}{4}=45^\circ\) ; \(\dfrac{\pi}{6}=30^\circ\).

Cosinus et sinus

Si \(M(x)\) a pour coordonnées \((X;Y)\) dans un repère orthonormé, on pose :

• \(\cos x = X\) ;
• \(\sin x = Y\).

Relation fondamentale : \(\cos^2 x+\sin^2 x=1\).

Propriétés et parité

• \(\cos\) est paire : \(\cos(-x)=\cos x\) ; \(\sin\) est impaire : \(\sin(-x)=-\sin x\).
• Période \(2\pi\) : \(\cos(x+2\pi)=\cos x\), \(\sin(x+2\pi)=\sin x\).
• \(\cos(x+\pi)=-\cos x\), \(\sin(x+\pi)=-\sin x\).
• \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x\), \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x\).

Formules d’addition (à connaître)

• \(\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\).
• \(\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\).
• \(\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\).
• \(\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b\).

Exemple — \(\cos\dfrac{\pi}{12}=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\).

Équations \(\cos x = \cos a\)

Pour \(a\in\mathbb{R}\) :

\[ \cos x=\cos a \Leftrightarrow x=a+2k\pi \quad\text{ou}\quad x=-a+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \]

Exemple — \(\cos x=\dfrac{1}{2}=\cos\dfrac{\pi}{3}\) : \(x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\) ou \(x=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\).

Équations \(\sin x = \sin a\)

\[ \sin x=\sin a \Leftrightarrow x=a+2k\pi \quad\text{ou}\quad x=\pi-a+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \]

Exemple — \(\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sin\dfrac{\pi}{4}\) : \(x=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\) ou \(x=\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi\).

Dérivées de cos et sin

• \((\cos x)'=-\sin x\).
• \((\sin x)'=\cos x\).
• \((\cos(ax+b))'=-a\sin(ax+b)\) ; \((\sin(ax+b))'=a\cos(ax+b)\).

Conséquence : les variations de \(\sin\) et \(\cos\) se déduisent du signe de leurs dérivées sur une période.

Étude rapide de \(\sin\) et \(\cos\)

• Valeurs dans \([-1;1]\) ; période \(2\pi\).
• \(\sin\) croît sur \(\bigl[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\bigr]\), \(\cos\) décroît sur \([0;\pi]\).
• Pour résoudre une inéquation, on peut utiliser le cercle ou le tableau de variations sur une période.
• Exemple d’inéquation : \(\cos x \ge \dfrac{1}{2}\) sur \([0;2\pi]\) donne \(x\in\bigl[0;\frac{\pi}{3}\bigr]\cup\bigl[\frac{5\pi}{3};2\pi\bigr]\).

Méthode — Se ramener à une période, marquer les solutions de l’équation associée, puis lire les arcs où l’inégalité est vraie sur le cercle trigonométrique.

Exercices — Trigonométrie

Définition géométrique

Dans le plan muni d’un produit scalaire euclidien, pour deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) non nuls :

\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta, \]

où \(\theta\) est une mesure de l’angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). Si l’un des vecteurs est nul, le produit scalaire vaut 0.

• Le résultat est un nombre réel (pas un vecteur).
• \(\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2\).

Expression algébrique

Dans un repère orthonormé, si \(\vec{u}(x;y)\) et \(\vec{v}(x';y')\) :

\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'. \]

Exemple — \(\vec{u}(2;-1)\), \(\vec{v}(3;4)\) : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=6-4=2\).

• Norme : \(\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}\).
• Formules développées : \(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2=\|\vec{u}\|^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^2\).

Propriétés bilinéaires

• Symétrie : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}\).
• Linéarité à gauche : \((a\vec{u}+b\vec{w})\cdot\vec{v}=a(\vec{u}\cdot\vec{v})+b(\vec{w}\cdot\vec{v})\).
• De même à droite.

On développe comme un produit, sans « produit de vecteurs » autre que le scalaire.

Orthogonalité

Deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul :

\[ \vec{u}\perp\vec{v} \Leftrightarrow \vec{u}\cdot\vec{v}=0. \]

• Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.
• Dans un repère orthonormé : \(xx'+yy'=0\).

Exemple — \(\vec{u}(3;2)\) et \(\vec{v}(-2;3)\) : \(3\times(-2)+2\times 3=0\), donc orthogonaux.

Norme et distances

• \(\|\vec{u}\|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}\).
• Distance \(AB=\|\overrightarrow{AB}\|\).
• Identité : \(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2+\|\vec{u}-\vec{v}\|^2=2(\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2)\).

Exemple — \(A(1;2)\), \(B(4;6)\) : \(\overrightarrow{AB}(3;4)\), \(AB=5\).

Projections

La projection orthogonale du point M sur une droite \(\mathcal{D}\) est le point H de \(\mathcal{D}\) tel que \(\overrightarrow{HM}\perp \mathcal{D}\).

• Si \(\vec{u}\) est un vecteur directeur de \(\mathcal{D}\) et \(\vec{v}=\overrightarrow{AM}\), la composante de \(\vec{v}\) selon \(\vec{u}\) s’obtient via le produit scalaire.
• Pour un vecteur unitaire \(\vec{i}\), la coordonnée de \(\vec{v}\) selon \(\vec{i}\) est \(\vec{v}\cdot\vec{i}\).

Applications géométriques

• Théorème d’Al-Kashi : dans un triangle, \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\hat{A}\).
• Démontrer qu’un triangle est rectangle : montrer qu’un produit scalaire de côtés est nul.
• Équation d’une droite : si \(\vec{n}(a;b)\) est normal et \(A(x_0;y_0)\) sur la droite, alors \(a(x-x_0)+b(y-y_0)=0\).

Calcul d’un angle et bilan méthodique

Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont non nuls :

\[ \cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}. \]

Exemple — \(\vec{u}(1;0)\), \(\vec{v}(1;1)\) : \(\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\), donc \(\theta=\dfrac{\pi}{4}\).

• Choisir la définition adaptée : géométrique (angle) ou algébrique (coordonnées).
• Pour une démonstration d’orthogonalité, le calcul \(xx'+yy'=0\) suffit souvent.
• Pour une longueur, préférer \(\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\), qui n’est autre que la norme de \(\overrightarrow{AB}\).
• Dans un triangle, Al-Kashi relie côtés et cosinus ; le cas \(\hat{A}=90^\circ\) retrouve Pythagore car \(\cos 90^\circ=0\).

Exercices — Produit scalaire

Probabilité conditionnelle

Soit \(A\) un événement de probabilité non nulle. La probabilité de \(B\) sachant \(A\) est :

\[ P_A(B)=P(B\mid A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}. \]

• On « restreint » l’univers à \(A\).
• \(P_A\) est une probabilité : \(0\le P_A(B)\le 1\), \(P_A(\overline{B})=1-P_A(B)\).

Exemple — On tire une carte. \(A\) : « cœur », \(B\) : « figure ». \(P_A(B)=\dfrac{3}{13}\).

Arbres pondérés

Un arbre de probabilités représente des expériences en étapes. Sur chaque branche on place une probabilité conditionnelle (ou une probabilité simple au premier niveau).

• La somme des probabilités issues d’un même nœud vaut 1.
• Probabilité d’un chemin = produit des probabilités le long du chemin.
• \(P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)\).

Exemple — Urne : 30 % de défectueux. Parmi les bons, 90 % passent le test ; parmi les défectueux, 20 % passent. Probabilité d’être bon et de passer : \(0{,}7\times 0{,}9=0{,}63\).

Indépendance

Deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants lorsque \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\).

• Équivalent (si \(P(A)>0\)) : \(P_A(B)=P(B)\).
• L’indépendance signifie que la réalisation de \(A\) ne modifie pas la probabilité de \(B\).
• Ne pas confondre indépendance et incompatibilité (\(A\cap B=\emptyset\)).

Formule des probabilités totales

Si \((A_1,\ldots,A_n)\) forme une partition de l’univers (événements deux à deux incompatibles, réunion = \(\Omega\)), alors pour tout événement \(B\) :

\[ P(B)=\sum_{i=1}^{n} P(A_i)\times P_{A_i}(B). \]

Dans le cas à deux branches \(A\) et \(\overline{A}\) :

\[ P(B)=P(A)P_A(B)+P(\overline{A})P_{\overline{A}}(B). \]

Exemple — Avec l’urne précédente, \(P(\text{passe})=0{,}7\times 0{,}9+0{,}3\times 0{,}2=0{,}63+0{,}06=0{,}69\).

Formule de Bayes (cas simple)

On connaît souvent \(P_A(B)\) et on cherche \(P_B(A)\) :

\[ P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{P(A)\,P_A(B)}{P(B)}. \]

On calcule \(P(B)\) par la formule des probabilités totales.

Exemple — Probabilité d’être défectueux sachant que le test est réussi : \(P_{\text{passe}}(D)=\dfrac{0{,}3\times 0{,}2}{0{,}69}=\dfrac{0{,}06}{0{,}69}\approx 0{,}087\).

Méthode en exercice

1. Définir clairement les événements (phrases courtes).
2. Dessiner l’arbre avec les probabilités sur les branches.
3. Identifier la question : intersection, totale, ou Bayes.
4. Appliquer produit des branches, somme des chemins, ou quotient pour Bayes.

Notations et pièges

• \(P_A(B)\) se lit « probabilité de \(B\) sachant \(A\) », pas « \(A\) et \(B\) ».
• \(P(A\cap B)\) est une intersection ; \(P_A(B)\) est un quotient.
• Vérifier que les données sont bien conditionnelles ou non.

Lien avec les variables aléatoires (aperçu)

Les probabilités conditionnelles servent aussi pour la loi d’une variable aléatoire définie en deux temps (expérience composée). L’arbre reste l’outil central en 1ʳᵉ.

Exercices — Probabilités conditionnelles

Listes en Python

Une liste est une collection ordonnée d’éléments, écrite entre crochets : L = [3, 1, 4, 1].

• Indices à partir de 0 : L[0] vaut 3, L[2] vaut 4.
• Longueur : len(L).
• On peut modifier : L[1] = 7 ; ajouter : L.append(5).

Parcours d’une liste

Deux façons courantes :

for x in L:
    print(x)

for i in range(len(L)):
    print(i, L[i])

• for x in L : on lit les valeurs.
• for i in range(len(L)) : on a besoin de l’indice (comparaison avec le voisin, etc.).

Accumulateurs

Un accumulateur est une variable mise à jour dans une boucle (somme, produit, compteur, maximum…).

s = 0
for x in L:
    s = s + x

m = L[0]
for x in L:
    if x > m:
        m = x

Exemple — Compter les termes positifs : initialiser c = 0, puis c = c + 1 si x > 0.

Suites en Python

Suite récurrente : on part de \(u_0\) et on itère.

u = 2          # u0
for n in range(5):
    u = 3 * u - 1
    print(u)   # u1 à u5

Suite explicite stockée dans une liste :

L = [3 * n + 1 for n in range(10)]

• Arithmétique : u = u + r.
• Géométrique : u = q * u.

Somme des termes d’une suite

u = 1
S = 0
for k in range(10):   # 10 termes
    S = S + u
    u = u + 3         # raison 3
print(S)

On peut aussi remplir une liste puis utiliser sum(L).

Simulation et probabilités

• from random import random, randint
• random() : réel dans \([0;1[\) ; utile pour simuler un événement de proba \(p\).
• randint(a, b) : entier entre \(a\) et \(b\) inclus.

from random import random
N = 10000
succes = 0
for k in range(N):
    if random() < 0.3:
        succes = succes + 1
print(succes / N)

La fréquence observée approche la probabilité (loi des grands nombres, intuition).

Simuler une expérience à deux étapes

from random import random
def experience():
    if random() < 0.7:          # bon
        return random() < 0.9     # passe le test
    else:                         # défectueux
        return random() < 0.2

N = 10000
nb = sum(1 for _ in range(N) if experience())
print(nb / N)

On estime ainsi une probabilité totale sans la calculer à la main.

Algorithmes utiles (niveau 2nde / 1ʳᵉ)

• Seuil : trouver le plus petit \(n\) tel que \(u_n>S\) (boucle while).
• Recherche du maximum / minimum dans une liste.
• Construction d’une liste de fréquences ou d’effectifs.

u = 1000
n = 0
while u < 1500:
    u = 1.02 * u
    n = n + 1
print(n, u)

Bonnes pratiques

• Nommer clairement les variables (somme, terme, raison).
• Initialiser l’accumulateur avant la boucle.
• Tester sur un petit exemple dont on connaît le résultat à la main.
• Commenter le lien avec la formule mathématique.

Exercices — Listes et algorithmique