Cours
Les nombres entiers jusqu’à 999 999
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Cours — Les nombres entiers jusqu’à 999 999
Lire et écrire les grands nombres
Pour lire un grand nombre, on le découpe en classes de trois chiffres : la classe des mille et la classe des unités simples. On laisse un petit espace entre les deux classes.
| Classe des mille | Classe des unités simples | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| centaines | dizaines | unités | centaines | dizaines | unités |
| 3 | 5 | 6 | 8 | 4 | 2 |
Le nombre 356 842 se lit « trois-cent-cinquante-six-mille-huit-cent-quarante-deux ».
- On lit d’abord la classe des mille, puis on dit « mille », puis la classe des unités.
- « Mille » est invariable : on écrit toujours « mille », jamais « milles ».
- S’il manque des chiffres, on complète avec des zéros : « quatre-cent-mille-six » s’écrit 400 006.
On sépare la classe des mille et la classe des unités par un espace : 356 842, et non 356842.
La valeur des chiffres selon leur position
Dans un nombre, chaque chiffre a une valeur qui dépend de sa place. Il faut bien distinguer « le chiffre des… » et « le nombre de… ».
| Question sur 356 842 | Réponse | Comment faire ? |
|---|---|---|
| Chiffre des dizaines de mille ? | 5 | On regarde un seul chiffre. |
| Nombre de dizaines de mille ? | 35 | On lit tout ce qui est à gauche, chiffre compris. |
| Chiffre des centaines ? | 8 | On regarde un seul chiffre. |
| Nombre de centaines ? | 3 568 | 356 842 = 3 568 centaines et 42 unités. |
On peut aussi décomposer un nombre : 356 842 = 300 000 + 50 000 + 6 000 + 800 + 40 + 2, ou encore (3 × 100 000) + (5 × 10 000) + (6 × 1 000) + (8 × 100) + (4 × 10) + 2.
Le chiffre des dizaines de mille est un seul chiffre ; le nombre de dizaines de mille se lit depuis la gauche jusqu’à ce chiffre.
Comparer, encadrer et ranger
Pour comparer deux nombres entiers, on utilise les symboles < (est plus petit que), > (est plus grand que) et = (est égal à).
- Étape 1 : je compte les chiffres. Celui qui en a le plus est le plus grand : 98 765 < 123 456.
- Étape 2 : s’ils ont le même nombre de chiffres, je compare chiffre par chiffre en partant de la gauche : 456 789 > 452 999 car 6 > 2 au rang des unités de mille.
- Encadrer 45 678 au millier près : 45 000 < 45 678 < 46 000.
- Intercaler : entre 34 000 et 35 000, je peux placer 34 500 par exemple.
- Ranger dans l’ordre croissant : du plus petit au plus grand. Dans l’ordre décroissant : du plus grand au plus petit.
La pointe du symbole montre toujours le plus petit nombre : 12 < 25 et 25 > 12.
La demi-droite graduée
Sur une demi-droite graduée, les nombres sont rangés dans l’ordre croissant et les graduations sont régulières : l’écart entre deux graduations est toujours le même.
|——————|——————|——————|——————|——————| 24 000 25 000 26 000 27 000 28 000
- Je repère d’abord le pas de la graduation : ici, on avance de 1 000 en 1 000.
- Pour placer 26 000, je pars de 24 000 et j’avance de 2 graduations.
- Le nombre 25 500 se place exactement au milieu entre 25 000 et 26 000.
Avant de placer un nombre, je cherche toujours de combien en combien la demi-droite est graduée.
Les multiples de 2, de 5 et de 10
Un multiple d’un nombre s’obtient en le multipliant par un entier. Par exemple, 35 est un multiple de 5 car 35 = 5 × 7.
| Multiple de… | Comment le reconnaître ? | Exemples |
|---|---|---|
| 2 | Il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8. | 14, 236, 5 008 |
| 5 | Il se termine par 0 ou 5. | 35, 240, 1 005 |
| 10 | Il se termine par 0. | 50, 320, 46 000 |
Un multiple de 2 s’appelle aussi un nombre pair. Un nombre qui n’est pas pair est impair.
Pour reconnaître un multiple de 2, de 5 ou de 10, il suffit de regarder le chiffre des unités.
Mémo — Les nombres entiers jusqu’à 999 999
- Deux classes : la classe des mille et la classe des unités simples, séparées par un espace. Ex. : 356 842.
- Décomposition : 356 842 = 300 000 + 50 000 + 6 000 + 800 + 40 + 2.
- Chiffre des… / nombre de… : dans 356 842, le chiffre des dizaines de mille est 5, le nombre de dizaines de mille est 35.
- Comparer : d’abord le nombre de chiffres, puis chiffre par chiffre en partant de la gauche.
- Encadrer au millier : 45 000 < 45 678 < 46 000.
- Demi-droite graduée : je cherche d’abord le pas de la graduation avant de placer un nombre.
- Multiples : de 2 → finit par 0, 2, 4, 6, 8 ; de 5 → finit par 0 ou 5 ; de 10 → finit par 0.
- Piège classique : « mille » est invariable, et 400 006 s’écrit avec deux zéros intercalés.
Exercices — Les nombres entiers jusqu’à 999 999
Exercice 1
Écris ces nombres en chiffres :
- quatre-cent-cinq-mille-soixante-dix
- douze-mille-huit
- six-cent-mille-deux-cent-trois
Correction
1) 405 070 (attention au zéro des unités de mille et au zéro des unités). 2) 12 008. 3) 600 203. Quand une position est vide, on écrit un zéro pour la marquer.
Exercice 2
On s’intéresse au nombre 728 356.
- Quel est le chiffre des unités de mille ?
- Quel est le chiffre des centaines de mille ?
- Quel est le nombre de centaines ?
Correction
1) Le chiffre des unités de mille est 8. 2) Le chiffre des centaines de mille est 7. 3) 728 356 = 7 283 centaines et 56 unités, donc le nombre de centaines est 7 283.
Exercice 3
La ville A compte 89 990 habitants, la ville B 98 099, la ville C 89 909 et la ville D 98 909. Range ces villes de la moins peuplée à la plus peuplée.
Correction
On compare chiffre par chiffre en partant de la gauche : 89 909 < 89 990 < 98 099 < 98 909. L’ordre est donc : ville C, ville A, ville B, ville D.
Exercice 4
Voici des numéros de tickets de tombola : 75, 84, 130, 205 et 612.
- Quels tickets portent un multiple de 2 ?
- Quels tickets portent un multiple de 5 ?
- Quel ticket porte un multiple de 10 ?
Correction
1) Multiples de 2 (finissent par 0, 2, 4, 6 ou 8) : 84, 130 et 612. 2) Multiples de 5 (finissent par 0 ou 5) : 75, 130 et 205. 3) Multiple de 10 (finit par 0) : 130.
Évaluation — Les nombres entiers jusqu’à 999 999
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Les fractions
Qu’est-ce qu’une fraction ?
Quand on partage une unité (une pizza, une tablette de chocolat, un segment…) en parts égales, chaque part est une fraction de l’unité.
Si une pizza est coupée en 4 parts égales et que j’en mange 3, j’ai mangé 3/4 (trois quarts) de la pizza.
- Le nombre du haut est le numérateur : il compte le nombre de parts prises.
- Le nombre du bas est le dénominateur : il indique en combien de parts égales l’unité est partagée.
- Dans 3/4 : numérateur 3, dénominateur 4.
Une fraction n’a de sens que si le partage est en parts égales. Le dénominateur (en bas) dit en combien de parts on coupe.
Lire et écrire les fractions
Chaque fraction se lit avec un mot particulier selon son dénominateur.
| Fraction | Lecture | Exemple concret |
|---|---|---|
| 1/2 | un demi | La moitié d’une baguette. |
| 1/3 | un tiers | Une part d’un gâteau coupé en 3. |
| 3/4 | trois quarts | 45 minutes = trois quarts d’heure. |
| 2/5 | deux cinquièmes | 2 carreaux sur 5 d’une tablette. |
| 7/10 | sept dixièmes | 7 cases coloriées sur 10. |
À partir de 5, on ajoute simplement « -ième » au nombre : cinquième, sixième, septième, huitième…
Les trois lectures spéciales : demi (2), tiers (3) et quart (4).
Placer et encadrer une fraction
On peut placer une fraction sur une demi-droite graduée. Il faut partager chaque unité en autant de parts que le dénominateur.
0 1 2
|--|--|--|--|--|--|--|--|
0/4 4/4 8/4
↑
7/4
- 4/4 = 1 : quatre quarts font une unité entière.
- 8/4 = 2 : huit quarts font deux unités.
- 7/4 se trouve donc entre 1 et 2 : on écrit 1 < 7/4 < 2.
- On peut aussi écrire 7/4 = 1 + 3/4 : une unité entière et encore trois quarts.
Pour encadrer une fraction entre deux entiers, je cherche combien de fois le dénominateur « rentre » dans le numérateur : 7/4 est entre 4/4 (= 1) et 8/4 (= 2).
Comparer des fractions
- Même dénominateur : la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur. 5/6 > 2/6.
- Comparer à 1 : si le numérateur est plus petit que le dénominateur, la fraction est plus petite que 1 (5/8 < 1). S’il est plus grand, elle dépasse 1 (9/8 > 1). S’ils sont égaux, elle vaut exactement 1 (8/8 = 1).
- Fractions égales : 1/2 = 2/4 = 5/10 : elles représentent la même part de l’unité.
Quand le numérateur est égal au dénominateur, la fraction vaut 1 : 4/4 = 6/6 = 1.
Additionner, soustraire, prendre une fraction d’une quantité
Quand deux fractions ont le même dénominateur, on additionne ou on soustrait les numérateurs, et on garde le dénominateur.
- 3/8 + 4/8 = 7/8 (trois huitièmes plus quatre huitièmes font sept huitièmes).
- 9/5 − 4/5 = 5/5 = 1.
- Attention : on n’additionne jamais les dénominateurs !
Pour prendre une fraction d’une quantité, on divise par le dénominateur puis on multiplie par le numérateur.
3/4 de 20 : 20 ÷ 4 = 5 (un quart de 20) 5 × 3 = 15 (trois quarts de 20)
Fraction d’une quantité : je divise par le nombre du bas, je multiplie par le nombre du haut.
Mémo — Les fractions
- Fraction : partage d’une unité en parts égales. Numérateur en haut (parts prises), dénominateur en bas (nombre de parts).
- Lectures spéciales : 1/2 = un demi, 1/3 = un tiers, 1/4 = un quart ; ensuite cinquième, sixième…
- Fraction égale à 1 : numérateur = dénominateur (4/4 = 1).
- Encadrer : 1 < 7/4 < 2 car 4/4 = 1 et 8/4 = 2 ; et 7/4 = 1 + 3/4.
- Comparer (même dénominateur) : le plus grand numérateur gagne. 5/6 > 2/6.
- Additionner / soustraire (même dénominateur) : 3/8 + 4/8 = 7/8. On garde le dénominateur !
- Fraction d’une quantité : 3/4 de 20 → 20 ÷ 4 = 5, puis 5 × 3 = 15.
- Piège classique : ne jamais additionner les dénominateurs (3/8 + 4/8 ≠ 7/16).
Exercices — Les fractions
Exercice 1
Un gâteau d’anniversaire est coupé en 6 parts égales. Léa mange 2 parts et son frère Tom en mange 1.
- Quelle fraction du gâteau Léa a-t-elle mangée ?
- Quelle fraction du gâteau les deux enfants ont-ils mangée ensemble ?
- Quelle fraction du gâteau reste-t-il ?
Correction
1) Léa a mangé 2/6 du gâteau. 2) Ensemble : 2/6 + 1/6 = 3/6, c’est-à-dire la moitié du gâteau. 3) Il reste 6/6 − 3/6 = 3/6, soit l’autre moitié.
Exercice 2
Encadre chaque fraction entre deux entiers consécutifs :
- 9/4
- 13/5
- 11/3
Correction
1) 8/4 = 2 et 12/4 = 3, donc 2 < 9/4 < 3. 2) 10/5 = 2 et 15/5 = 3, donc 2 < 13/5 < 3. 3) 9/3 = 3 et 12/3 = 4, donc 3 < 11/3 < 4.
Exercice 3
Calcule :
- 3/8 + 4/8
- 9/5 − 4/5
- 2/6 + 3/6
Correction
1) 3/8 + 4/8 = 7/8. 2) 9/5 − 4/5 = 5/5 = 1. 3) 2/6 + 3/6 = 5/6. On additionne ou on soustrait les numérateurs, le dénominateur ne change pas.
Exercice 4
Dans une classe de 24 élèves, les 3/4 font du sport le mercredi. Combien d’élèves font du sport ? Combien n’en font pas ?
Correction
Un quart de 24 : 24 ÷ 4 = 6. Trois quarts : 6 × 3 = 18 élèves font du sport. Il reste 24 − 18 = 6 élèves qui n’en font pas (c’est le quart restant).
Évaluation — Les fractions
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Les nombres décimaux
Les fractions décimales
Une fraction décimale a pour dénominateur 10, 100 ou 1 000. Si je partage une unité en 10 parts égales, chaque part est un dixième (1/10). Si je partage en 100 parts égales, chaque part est un centième (1/100).
- Il faut 10 dixièmes pour faire une unité : 10/10 = 1.
- Il faut 100 centièmes pour faire une unité : 100/100 = 1.
- Il faut 10 centièmes pour faire un dixième : 10/100 = 1/10.
- On peut décomposer : 34/10 = 30/10 + 4/10 = 3 + 4/10 (trois unités et quatre dixièmes).
Un dixième, c’est une unité coupée en 10 ; un centième, c’est une unité coupée en 100.
De la fraction décimale à l’écriture à virgule
Un nombre décimal s’écrit avec une virgule : à gauche, la partie entière ; à droite, la partie décimale.
| unités | , | dixièmes | centièmes |
|---|---|---|---|
| 3 | , | 4 | 5 |
Le nombre 3,45 se lit « trois unités et quarante-cinq centièmes ». On peut écrire :
- 3,45 = 3 + 4/10 + 5/100 = 3 + 45/100 = 345/100.
- 7/10 = 0,7 et 34/10 = 3,4.
- 205/100 = 2,05 : attention au zéro qui marque l’absence de dixièmes !
Juste après la virgule, il y a les dixièmes, puis les centièmes. 2,05 et 2,5 ne sont pas le même nombre !
Comparer, intercaler, ranger des décimaux
Pour comparer deux nombres décimaux, je compare d’abord les parties entières. Si elles sont égales, je compare les dixièmes, puis les centièmes.
- 7,8 > 6,95 car 7 > 6.
- Pour comparer 2,5 et 2,45 : j’écris 2,5 = 2,50. Comme 50 centièmes > 45 centièmes, on a 2,5 > 2,45.
- Intercaler : entre 6,2 et 6,3, je peux placer 6,25 (ou 6,21, 6,22…).
- Ordre croissant de 5,2 ; 5,09 ; 5,25 ; 5,3 : on obtient 5,09 < 5,2 < 5,25 < 5,3.
Un nombre décimal plus long n’est pas forcément plus grand : 2,5 > 2,45. Ajouter un zéro à droite aide à comparer : 2,50 et 2,45.
Partie entière et arrondi à l’entier
La partie entière d’un nombre décimal est ce qui est écrit avant la virgule : la partie entière de 12,86 est 12.
L’arrondi à l’entier est l’entier le plus proche du nombre. Pour le trouver, je regarde le chiffre des dixièmes :
| Nombre | Chiffre des dixièmes | Arrondi à l’entier |
|---|---|---|
| 3,2 | 2 (moins de 5) | 3 |
| 7,6 | 6 (5 ou plus) | 8 |
| 12,86 | 8 (5 ou plus) | 13 |
Exemple du quotidien : un paquet de 2,7 kg pèse environ 3 kg ; un livre à 7,95 € coûte environ 8 €.
Dixièmes de 0 à 4 → j’arrondis en dessous ; dixièmes de 5 à 9 → j’arrondis au-dessus.
Mémo — Les nombres décimaux
- Fraction décimale : dénominateur 10, 100 ou 1 000. Ex. : 7/10, 45/100.
- Passage à la virgule : 34/10 = 3,4 ; 205/100 = 2,05 ; 3,45 = 345/100.
- Après la virgule : d’abord les dixièmes, puis les centièmes.
- Comparer : d’abord les parties entières, puis dixièmes, puis centièmes. Astuce : 2,5 = 2,50.
- Intercaler : entre 6,2 et 6,3, il y a 6,21 ; 6,25 ; 6,29…
- Partie entière de 12,86 : c’est 12 (avant la virgule).
- Arrondi à l’entier : je regarde les dixièmes. 3,2 → 3 ; 7,6 → 8.
- Piège classique : 2,5 > 2,45 (le plus long n’est pas le plus grand !).
Exercices — Les nombres décimaux
Exercice 1
Écris chaque fraction décimale sous forme d’un nombre à virgule :
- 7/10
- 34/10
- 205/100
Correction
1) 7/10 = 0,7. 2) 34/10 = 30/10 + 4/10 = 3 + 4/10 = 3,4. 3) 205/100 = 200/100 + 5/100 = 2 + 5/100 = 2,05 (le zéro montre qu’il n’y a pas de dixièmes).
Exercice 2
Écris chaque nombre sous forme de fraction décimale :
- 0,9
- 1,3
- 2,07
Correction
1) 0,9 = 9/10. 2) 1,3 = 13/10. 3) 2,07 = 2 + 7/100 = 207/100.
Exercice 3
Quatre bouteilles contiennent 5,2 L ; 5,09 L ; 5,25 L et 5,3 L de jus de pomme. Range ces contenances dans l’ordre croissant.
Correction
Les parties entières sont toutes égales à 5, je compare donc les parties décimales en complétant avec des zéros : 5,09 ; 5,20 ; 5,25 ; 5,30. Ordre croissant : 5,09 < 5,2 < 5,25 < 5,3.
Exercice 4
Zoé mesure 1,38 m et sa cousine Inès mesure 1,4 m.
- Qui est la plus grande ?
- Un sac de farine pèse 2,7 kg. Quel est son arrondi au kilogramme ?
Correction
1) 1,4 = 1,40 et 40 centièmes > 38 centièmes, donc Inès est la plus grande. 2) Le chiffre des dixièmes de 2,7 est 7 (5 ou plus), donc on arrondit au-dessus : le sac pèse environ 3 kg.
Évaluation — Les nombres décimaux
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Le calcul mental
Les faits numériques à connaître par cœur
Le calcul mental devient facile quand certains résultats sont mémorisés : on les retrouve alors sans réfléchir, comme des mots que l’on sait lire.
- Les tables de multiplication de 1 à 10 : 7 × 8 = 56, 6 × 9 = 54, 8 × 4 = 32…
- Les doubles : double de 45 = 90, double de 250 = 500. Les moitiés : moitié de 60 = 30, moitié de 500 = 250.
- Les compléments à 100 : 37 + 63 = 100, 45 + 55 = 100 (les unités font 10, les dizaines font 90).
- Les compléments à 1 000 : 250 + 750 = 1 000, 640 + 360 = 1 000.
Réciter les tables « dans le désordre » est le meilleur entraînement : 5 minutes par jour suffisent !
Multiplier par 10, 100 ou 1 000
Quand on multiplie un nombre entier par 10, 100 ou 1 000, chaque chiffre devient 10, 100 ou 1 000 fois plus grand : tout se décale vers la gauche.
| Calcul | Résultat | Ce qui se passe |
|---|---|---|
| 45 × 10 | 450 | Un zéro s’ajoute à droite. |
| 67 × 100 | 6 700 | Deux zéros s’ajoutent à droite. |
| 42 × 1 000 | 42 000 | Trois zéros s’ajoutent à droite. |
Pour un nombre décimal multiplié par 10, chaque chiffre devient 10 fois plus grand : la virgule « se décale » d’un rang vers la droite.
- 3,7 × 10 = 37.
- 2,45 × 10 = 24,5.
Entier × 10 → un zéro de plus. Décimal × 10 → la virgule se décale d’un rang vers la droite.
Les astuces de calcul rapide
| Astuce | Méthode | Exemple |
|---|---|---|
| Ajouter 9 | + 10, puis − 1 | 45 + 9 = 45 + 10 − 1 = 54 |
| Ajouter 19 | + 20, puis − 1 | 76 + 19 = 96 − 1 = 95 |
| Ajouter 29 | + 30, puis − 1 | 134 + 29 = 164 − 1 = 163 |
| Multiplier par 4 | le double du double | 26 × 4 : 52, puis 104 |
| Multiplier par 5 | × 10, puis la moitié | 18 × 5 : 180 ÷ 2 = 90 |
| Multiplier par 8 | doubler trois fois | 15 × 8 : 30, 60, 120 |
Ajouter 9, 19 ou 29, c’est ajouter la dizaine du dessus puis enlever 1.
Les relations entre fractions usuelles
Certaines égalités de fractions reviennent tout le temps : les connaître aide en calcul mental comme dans la vie de tous les jours.
- 1/2 = 2/4 = 5/10 : la moitié.
- 1/4 est la moitié de la moitié : un quart de 100 = 25.
- Une heure : 1/2 heure = 30 minutes, 1/4 d’heure = 15 minutes, 3/4 d’heure = 45 minutes.
- 2/4 d’une tablette = 1/2 tablette : deux quarts font une moitié.
1/2 = 2/4 et 1/4 d’heure = 15 minutes : des repères à savoir par cœur.
Mémo — Le calcul mental
- Tables de 1 à 10 par cœur : 7 × 8 = 56, 6 × 9 = 54…
- Doubles et moitiés : double de 45 = 90 ; moitié de 60 = 30.
- Compléments à 100 : 37 + 63, 45 + 55 (unités → 10, dizaines → 90).
- × 10, × 100, × 1 000 (entiers) : on ajoute 1, 2 ou 3 zéros. 67 × 100 = 6 700.
- Décimal × 10 : la virgule se décale d’un rang vers la droite. 3,7 × 10 = 37.
- + 9, + 19, + 29 : j’ajoute 10, 20 ou 30 puis j’enlève 1.
- × 4 = double du double ; × 5 = × 10 puis moitié ; × 8 = doubler 3 fois.
- Repères de fractions : 1/2 = 2/4 = 5/10 ; 1/4 d’heure = 15 min.
Exercices — Le calcul mental
Exercice 1
Calcule de tête en utilisant l’astuce « dizaine du dessus » :
- 45 + 9
- 76 + 19
- 134 + 29
Correction
1) 45 + 10 − 1 = 54. 2) 76 + 20 − 1 = 96 − 1 = 95. 3) 134 + 30 − 1 = 164 − 1 = 163.
Exercice 2
Calcule de tête avec les astuces des tables :
- 26 × 4
- 18 × 5
- 15 × 8
Correction
1) Double du double : 26 → 52 → 104. 2) × 10 puis moitié : 18 × 10 = 180, 180 ÷ 2 = 90. 3) Doubler trois fois : 15 → 30 → 60 → 120.
Exercice 3
Calcule :
- 67 × 100
- 305 × 10
- 42 × 1 000
- 3,8 × 10
Correction
1) 67 × 100 = 6 700. 2) 305 × 10 = 3 050. 3) 42 × 1 000 = 42 000. 4) 3,8 × 10 = 38 (la virgule se décale d’un rang vers la droite).
Exercice 4
Trouve le complément :
- 37 + … = 100
- 250 + … = 1 000
- 640 + … = 1 000
Correction
1) 37 + 63 = 100 (7 + 3 = 10 et 30 + 60 = 90). 2) 250 + 750 = 1 000. 3) 640 + 360 = 1 000.
Évaluation — Le calcul mental
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Les quatre opérations
Estimer un résultat et utiliser les parenthèses
Avant de calculer, il est malin d’estimer le résultat avec un ordre de grandeur : on remplace les nombres par des nombres « ronds » proches.
- 398 + 205 ≈ 400 + 200 = 600 : le résultat exact (603) doit être proche de 600.
- 512 − 195 ≈ 500 − 200 = 300.
- Si je trouve 63 au lieu d’environ 600, je sais qu’il y a une erreur !
Dans un calcul avec des parenthèses, on effectue d’abord ce qui est entre parenthèses.
25 − (8 + 2) = 25 − 10 = 15 (7 − 3) × 5 = 4 × 5 = 20
Les parenthèses d’abord, et toujours un ordre de grandeur pour vérifier que le résultat est « raisonnable ».
Additionner et soustraire des nombres décimaux
Pour poser une addition ou une soustraction de nombres décimaux, la règle d’or est d’aligner les virgules (donc les unités sous les unités, les dixièmes sous les dixièmes…). On peut compléter avec des zéros.
4 5,7 0 + 2 3,8 5 ————————— 6 9,5 5
5 3,2 0 − 1 7,4 5 ————————— 3 5,7 5
- 45,7 + 23,85 = 69,55 : j’écris 45,70 pour bien aligner les centièmes.
- 53,2 − 17,45 = 35,75 : sans le zéro ajouté à 53,20, impossible de poser la retenue !
- La virgule du résultat se place sous les autres virgules.
Virgule sous virgule ! J’ajoute des zéros à droite si besoin : 45,7 = 45,70.
Poser une multiplication de nombres entiers
Pour multiplier par un nombre à deux chiffres, on calcule ligne par ligne : d’abord par les unités, puis par les dizaines (en décalant d’un rang), et on additionne.
2 3 4
× 2 3
—————————
7 0 2 (234 × 3)
+ 4 6 8 0 (234 × 20)
—————————
5 3 8 2
- 234 × 23 = 5 382.
- Ordre de grandeur : 234 × 23 ≈ 200 × 20 = 4 000 : le résultat 5 382 est cohérent.
- Autre exemple : 347 × 6 = 2 082 (300 × 6 = 1 800 et 47 × 6 = 282).
Quand je multiplie par les dizaines, je décale la ligne d’un rang vers la gauche (je peux écrire un 0).
La division euclidienne
La division euclidienne permet de partager en parts égales. Le résultat s’appelle le quotient, et ce qui ne peut pas être partagé s’appelle le reste.
8 7 5 | 4
− 8 |————
0 7 | 2 1 8
− 4 |
3 5 |
− 3 2 |
3 |
875 = (4 × 218) + 3
- 875 ÷ 4 : quotient 218, reste 3.
- Le reste est toujours plus petit que le diviseur : ici 3 < 4.
- Vérification : 4 × 218 + 3 = 872 + 3 = 875. C’est juste !
Je vérifie toujours ma division avec : (diviseur × quotient) + reste = nombre de départ, et reste < diviseur.
Mémo — Les quatre opérations
- Ordre de grandeur : 398 + 205 ≈ 400 + 200 = 600. Il sert à vérifier son résultat.
- Parenthèses : toujours en premier. 25 − (8 + 2) = 15.
- Addition / soustraction de décimaux : virgule sous virgule, zéros ajoutés si besoin (45,7 = 45,70).
- Multiplication posée : une ligne par chiffre, la ligne des dizaines est décalée d’un rang. 234 × 23 = 5 382.
- Division euclidienne : quotient et reste. 875 ÷ 4 → quotient 218, reste 3.
- Vérification de la division : (diviseur × quotient) + reste = dividende ; le reste est plus petit que le diviseur.
- Piège classique : oublier de décaler la deuxième ligne d’une multiplication, ou mal aligner les virgules.
Exercices — Les quatre opérations
Exercice 1
Donne d’abord un ordre de grandeur, puis calcule le résultat exact :
- 398 + 205
- 512 − 195
Correction
1) Ordre de grandeur : 400 + 200 = 600 ; résultat exact : 398 + 205 = 603. 2) Ordre de grandeur : 500 − 200 = 300 ; résultat exact : 512 − 195 = 317. Les deux résultats sont proches des estimations : c’est bon signe !
Exercice 2
Pose et effectue :
- 45,7 + 23,85
- 53,2 − 17,45
Correction
1) J’écris 45,70 sous 23,85 en alignant les virgules : 45,70 + 23,85 = 69,55. 2) J’écris 53,20 : 53,20 − 17,45 = 35,75. Vérification : 35,75 + 17,45 = 53,20. C’est juste !
Exercice 3
Pose et effectue :
- 347 × 6
- 234 × 23
Correction
1) 347 × 6 = 2 082 (6 × 7 = 42, je pose 2 et retiens 4 ; 6 × 4 = 24, + 4 = 28, je pose 8 et retiens 2 ; 6 × 3 = 18, + 2 = 20). 2) 234 × 3 = 702 et 234 × 20 = 4 680 ; 702 + 4 680 = 5 382.
Exercice 4
Un fleuriste a reçu 875 roses. Il prépare des bouquets de 4 roses.
- Combien de bouquets complets peut-il préparer ?
- Combien de roses resteront seules ?
Correction
On calcule 875 ÷ 4 : quotient 218, reste 3. 1) Il peut préparer 218 bouquets. 2) Il restera 3 roses. Vérification : 4 × 218 + 3 = 872 + 3 = 875.
Évaluation — Les quatre opérations
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — La résolution de problèmes
La méthode en 4 étapes
Un problème, c’est une petite enquête : on cherche une information cachée à partir des indices de l’énoncé. Voici la méthode du bon détective :
- 1. Je lis et je comprends : je lis l’énoncé deux fois et je redis l’histoire avec mes mots. Qu’est-ce qu’on cherche ?
- 2. Je schématise : je fais un dessin, un schéma en barres ou un tableau avec les données utiles.
- 3. Je calcule : je choisis la bonne opération et je pose le calcul.
- 4. Je vérifie et je réponds : le résultat est-il possible ? J’écris une phrase réponse avec l’unité.
Pas de calcul avant d’avoir compris ce qu’on cherche ! Et toujours finir par une phrase réponse.
Les problèmes d’addition et de soustraction
On distingue deux grandes familles :
| Famille | Exemple | Calcul |
|---|---|---|
| Parties-tout (on réunit) | Dans le car, il y a 27 adultes et 15 enfants. Combien de passagers ? | 27 + 15 = 42 |
| Parties-tout (on cherche une partie) | Sur 42 passagers, 27 sont des adultes. Combien d’enfants ? | 42 − 27 = 15 |
| Comparaison (de plus) | Lila a 12 billes. Noé en a 5 de plus. Combien pour Noé ? | 12 + 5 = 17 |
| Comparaison (de moins) | Noé a 17 billes, soit 5 de plus que Lila. Combien pour Lila ? | 17 − 5 = 12 |
Attention : « 5 de plus » ne veut pas toujours dire « addition » ! Si on connaît le plus grand, on soustrait pour trouver le plus petit.
Les problèmes de multiplication et de partage
- Groupes identiques : 4 paquets de 25 cartes → 4 × 25 = 100 cartes.
- Comparaison multiplicative : Papi a 9 ans. Son chêne est 8 fois plus vieux que lui… non, c’est l’inverse ! Tom a 9 ans, son grand-père est 8 fois plus âgé : 9 × 8 = 72 ans.
- Partage équitable : 96 dragées partagées entre 8 invités → 96 ÷ 8 = 12 dragées chacun.
- Groupements : avec 96 œufs, combien de boîtes de 6 ? → 96 ÷ 6 = 16 boîtes.
« Fois plus » → multiplication ; « partager », « distribuer », « combien de groupes » → division.
Les problèmes à plusieurs étapes
Certains problèmes cachent une question intermédiaire : il faut faire deux ou trois calculs à la suite.
Exemple : Sami achète 3 cahiers à 2,50 € l’un et un stylo à 1,20 €. Il paie avec un billet de 10 €. Combien la caissière lui rend-elle ?
Étape 1 : prix des cahiers → 3 × 2,50 = 7,50 € Étape 2 : prix total → 7,50 + 1,20 = 8,70 € Étape 3 : monnaie rendue → 10 − 8,70 = 1,30 €
Phrase réponse : la caissière lui rend 1,30 €.
Je me demande : « De quoi ai-je besoin pour répondre ? » Si une donnée manque, c’est qu’il faut la calculer d’abord.
Dénombrer et optimiser
Dénombrer, c’est compter toutes les possibilités sans en oublier. Un tableau ou un arbre aide beaucoup.
Exemple : avec 3 tee-shirts (rouge, bleu, vert) et 2 shorts (noir, gris), combien de tenues différentes ? Chaque tee-shirt va avec chaque short : 3 × 2 = 6 tenues.
Optimiser, c’est chercher la meilleure solution. Exemple : pour transporter 50 élèves avec des minibus de 8 places, 6 minibus (48 places) ne suffisent pas : il en faut 7.
Quand il reste des personnes après une division, il faut souvent un véhicule (ou une boîte) de plus : 50 ÷ 8 → quotient 6, reste 2 → 7 minibus.
Mémo — La résolution de problèmes
- 4 étapes : je comprends, je schématise, je calcule, je vérifie et je réponds par une phrase.
- Parties-tout : réunir → addition ; chercher une partie → soustraction.
- Comparaison : « de plus » / « de moins » ; attention, si on connaît le plus grand, on soustrait.
- « Fois plus » → multiplication ; partage ou groupements → division.
- Plusieurs étapes : je cherche la question intermédiaire cachée (ex. : le prix total avant la monnaie).
- Dénombrement : un arbre ou un tableau ; 3 tee-shirts × 2 shorts = 6 tenues.
- Optimisation : s’il y a un reste, il faut souvent un groupe de plus (50 élèves, minibus de 8 → 7 minibus).
- Piège classique : répondre sans unité ou sans phrase, ou utiliser une donnée inutile de l’énoncé.
Exercices — La résolution de problèmes
Exercice 1
La bibliothèque de l’école possède 456 romans et 378 bandes dessinées. Combien de livres possède-t-elle en tout ?
Correction
C’est un problème « parties-tout » : on réunit les deux collections. 456 + 378 = 834. La bibliothèque possède 834 livres.
Exercice 2
Maya a 348 images dans son album. Elle en a 156 de plus que Jules. Combien Jules a-t-il d’images ?
Correction
Attention au piège : Maya a plus d’images, donc Jules en a moins. On soustrait : 348 − 156 = 192. Jules a 192 images. Vérification : 192 + 156 = 348.
Exercice 3
Un fermier récolte 8 caisses de 24 pommes. Il en vend 150 au marché. Combien de pommes lui reste-t-il ?
Correction
Étape 1 : nombre de pommes récoltées → 8 × 24 = 192. Étape 2 : pommes restantes → 192 − 150 = 42. Il lui reste 42 pommes.
Exercice 4
Pour la kermesse, 50 élèves doivent être transportés dans des minibus de 8 places. Combien de minibus faut-il prévoir ?
Correction
50 ÷ 8 → quotient 6, reste 2 (car 8 × 6 = 48). Avec 6 minibus, 2 élèves resteraient à pied ! Il faut donc prévoir 7 minibus.
Évaluation — La résolution de problèmes
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Premiers pas en algèbre
Les égalités à trous
Dans une égalité à trous, un nombre est caché : il faut le retrouver. Le secret : utiliser l’opération inverse.
| Égalité à trous | Opération inverse | Nombre caché |
|---|---|---|
| 7 + … = 15 | 15 − 7 | 8 |
| … − 15 = 48 | 48 + 15 | 63 |
| … × 6 = 42 | 42 ÷ 6 | 7 |
| … ÷ 4 = 9 | 9 × 4 | 36 |
Je vérifie toujours en remplaçant : 7 + 8 = 15, c’est juste !
L’addition et la soustraction sont inverses l’une de l’autre ; la multiplication et la division aussi.
Un nombre caché derrière un symbole ou une lettre
On peut représenter un nombre inconnu par un symbole (♥, ▲, ★) ou une lettre (a, b, x). C’est le début de l’algèbre !
- ♥ + ♥ = 16 : deux cœurs identiques font 16, donc ♥ = 16 ÷ 2 = 8.
- ▲ + ▲ + ▲ = 27 : donc ▲ = 27 ÷ 3 = 9.
- a + 5 = 12 : donc a = 12 − 5 = 7.
- Enquête en deux temps : si ♥ + ♥ = 16 et ♥ + ● = 13, alors ♥ = 8 puis ● = 13 − 8 = 5.
Le même symbole cache toujours le même nombre dans un même problème.
Exécuter un programme de calcul
Un programme de calcul est une liste d’instructions à suivre dans l’ordre, comme une recette.
Programme : « Choisis un nombre. Ajoute 3. Multiplie par 2. » Départ 5 → 5 + 3 = 8 → 8 × 2 = 16 Départ 10 → 10 + 3 = 13 → 13 × 2 = 26
On peut aussi remonter le programme à l’envers : si le résultat est 16, je fais les opérations inverses dans l’ordre inverse : 16 ÷ 2 = 8, puis 8 − 3 = 5. Le nombre de départ était 5.
Pour retrouver le nombre de départ, je remonte le programme à l’envers avec les opérations inverses.
Suites de nombres et de motifs
Dans une suite, les nombres ou les motifs suivent une règle. Pour la trouver, j’observe comment on passe d’un terme au suivant.
- 3 ; 7 ; 11 ; 15 ; … → on ajoute 4 à chaque fois. Suite : 19, 23, 27…
- 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; … → on multiplie par 2. Suite : 16, 32, 64…
- 100 ; 95 ; 90 ; … → on enlève 5. Suite : 85, 80…
- Avec des motifs : 1 carré, puis 3 carrés, puis 5 carrés… → on ajoute 2 carrés à chaque étape.
Je teste ma règle sur plusieurs passages de la suite avant de continuer : une seule vérification ne suffit pas.
Mémo — Premiers pas en algèbre
- Égalité à trous : je retrouve le nombre caché avec l’opération inverse. 7 + … = 15 → 15 − 7 = 8.
- Opérations inverses : + et − ; × et ÷.
- Symbole ou lettre : le même symbole cache le même nombre. ♥ + ♥ = 16 → ♥ = 8.
- Programme de calcul : je suis les instructions dans l’ordre, une par une.
- Remonter un programme : opérations inverses, dans l’ordre inverse.
- Suite de nombres : je cherche la règle (+ 4, × 2, − 5…) et je la vérifie sur plusieurs termes.
- Vérification : je remplace le nombre trouvé dans l’égalité de départ.
- Piège classique : oublier de vérifier, ou changer la valeur d’un symbole en cours de route.
Exercices — Premiers pas en algèbre
Exercice 1
Trouve le nombre caché :
- … + 26 = 63
- 9 × … = 72
- … − 15 = 48
Correction
1) 63 − 26 = 37 (vérification : 37 + 26 = 63). 2) 72 ÷ 9 = 8 (9 × 8 = 72). 3) 48 + 15 = 63 (63 − 15 = 48).
Exercice 2
Chaque symbole cache un nombre. Sachant que ♥ + ♥ = 16 et que ♥ + ● = 13, trouve la valeur de ♥ puis celle de ●.
Correction
♥ + ♥ = 16, donc ♥ = 16 ÷ 2 = 8. Ensuite 8 + ● = 13, donc ● = 13 − 8 = 5. Vérification : 8 + 8 = 16 et 8 + 5 = 13.
Exercice 3
Voici un programme de calcul : « Choisis un nombre. Ajoute 3. Multiplie par 2. »
- Quel résultat obtient-on en partant de 7 ?
- Quel nombre faut-il choisir au départ pour obtenir 16 ?
Correction
1) 7 + 3 = 10, puis 10 × 2 = 20. 2) Je remonte à l’envers : 16 ÷ 2 = 8, puis 8 − 3 = 5. Vérification : 5 + 3 = 8 et 8 × 2 = 16.
Exercice 4
Trouve la règle de chaque suite, puis écris les deux termes suivants :
- 5 ; 9 ; 13 ; 17 ; … ; …
- 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; … ; …
Correction
1) On ajoute 4 à chaque fois : les termes suivants sont 21 et 25. 2) On multiplie par 2 à chaque fois : les termes suivants sont 16 et 32.
Évaluation — Premiers pas en algèbre
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Longueurs, masses et contenances
Les unités de longueur
L’unité principale de longueur est le mètre (m). Les autres unités sont 10, 100 ou 1 000 fois plus grandes ou plus petites.
| km | hm | dam | m | dm | cm | mm |
|---|---|---|---|---|---|---|
| kilomètre | hectomètre | décamètre | mètre | décimètre | centimètre | millimètre |
- 1 km = 1 000 m ; 1 m = 100 cm ; 1 cm = 10 mm.
- 3 km = 3 000 m ; 250 cm = 2 m et 50 cm.
- Repères : une porte mesure environ 2 m, une fourmi environ 5 mm, un tour de stade 400 m.
Dans le tableau des unités, chaque colonne vaut 10 fois la colonne de droite : un seul chiffre par colonne !
Les unités de masse
L’unité principale de masse est le gramme (g). On utilise aussi le kilogramme (kg) et la tonne (t) pour les objets lourds.
- 1 kg = 1 000 g et 1 t = 1 000 kg.
- 4 kg = 4 000 g ; 2 500 g = 2 kg et 500 g.
| Objet | Unité adaptée | Ordre de grandeur |
|---|---|---|
| Une gomme | gramme | environ 20 g |
| Une pomme | gramme | environ 150 g |
| Un élève de CM1 | kilogramme | environ 30 kg |
| Un camion | tonne | environ 10 t |
1 kg = 1 000 g : « kilo » veut dire « mille ». Un kilomètre, c’est aussi mille mètres !
Les unités de contenance
La contenance mesure ce qu’un récipient peut contenir. L’unité principale est le litre (L).
- 1 L = 10 dL = 100 cL = 1 000 mL.
- 2 L = 200 cL ; 50 cL = un demi-litre.
- Repères : une canette = 33 cL, une brique de lait = 1 L, une cuillère à café = 5 mL, une baignoire ≈ 150 L.
1 L = 100 cL : deux bouteilles de 50 cL remplissent exactement une bouteille d’un litre.
Le périmètre d’un polygone
Le périmètre d’une figure, c’est la longueur de son tour. Pour un polygone, on additionne les longueurs de tous ses côtés.
| Figure | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Polygone quelconque | somme des côtés | 3 + 5 + 4 + 6 = 18 cm |
| Carré de côté c | P = 4 × c | côté 7 cm → P = 28 cm |
| Rectangle L × l | P = 2 × (L + l) | 8 cm et 5 cm → P = 2 × 13 = 26 cm |
Attention : tous les côtés doivent être exprimés dans la même unité avant d’additionner.
Le périmètre est une longueur : il s’exprime en mm, cm, m ou km — jamais en cm² !
Mémo — Longueurs, masses et contenances
- Longueurs : km, hm, dam, m, dm, cm, mm. 1 km = 1 000 m ; 1 m = 100 cm ; 1 cm = 10 mm.
- Masses : 1 t = 1 000 kg ; 1 kg = 1 000 g.
- Contenances : 1 L = 100 cL = 1 000 mL ; une canette = 33 cL.
- Choisir l’unité : gomme → g ; élève → kg ; camion → t ; baignoire → L.
- Périmètre : longueur du tour = somme des côtés.
- Carré : P = 4 × c. Rectangle : P = 2 × (L + l).
- Même unité avant de calculer : 1 m + 50 cm = 100 cm + 50 cm = 150 cm.
- Piège classique : confondre périmètre (le tour) et aire (la surface).
Exercices — Longueurs, masses et contenances
Exercice 1
Convertis :
- 5 km = … m
- 3 m = … cm
- 4 kg = … g
- 2 L = … cL
Correction
1) 5 km = 5 000 m. 2) 3 m = 300 cm. 3) 4 kg = 4 000 g. 4) 2 L = 200 cL.
Exercice 2
Choisis l’unité la mieux adaptée (g, kg, t, m, km, L) :
- la masse d’une gomme
- la masse d’un camion chargé
- la distance entre deux villes
- l’eau contenue dans une baignoire
Correction
1) en grammes (environ 20 g). 2) en tonnes (environ 10 t). 3) en kilomètres. 4) en litres (environ 150 L).
Exercice 3
Un terrain de sport rectangulaire mesure 25 m de long et 12 m de large. Quel est son périmètre ?
Correction
P = 2 × (L + l) = 2 × (25 + 12) = 2 × 37 = 74 m. On peut vérifier en additionnant les 4 côtés : 25 + 12 + 25 + 12 = 74.
Exercice 4
Un jardinier veut entourer de grillage un potager carré de 9 m de côté. Le grillage est vendu en rouleaux de 10 m. Combien de rouleaux doit-il acheter ?
Correction
Périmètre du potager : 4 × 9 = 36 m. Avec 3 rouleaux, il n’aurait que 30 m : ce n’est pas assez. Il doit acheter 4 rouleaux (40 m), et il lui restera 4 m de grillage.
Évaluation — Longueurs, masses et contenances
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Les aires et les angles
Comparer des aires
L’aire d’une figure, c’est la mesure de sa surface, c’est-à-dire la place qu’elle occupe « à l’intérieur ». Pour comparer deux aires sans mesurer, on peut :
- Superposer les figures : si l’une recouvre entièrement l’autre, son aire est plus grande.
- Découper et recoller : on peut découper une figure et déplacer les morceaux, l’aire ne change pas.
- Compter les carreaux d’un quadrillage qui recouvrent chaque figure.
Déplacer ou découper une figure ne change pas son aire : c’est toujours la même quantité de surface.
Mesurer une aire avec un quadrillage
Sur un quadrillage, on choisit le carreau comme unité d’aire, puis on compte combien de carreaux la figure recouvre.
- Un carreau entier compte pour 1.
- Deux demi-carreaux comptent ensemble pour 1 carreau entier.
- Exemple : une figure qui recouvre 8 carreaux entiers et 4 demi-carreaux a une aire de 8 + 2 = 10 carreaux.
Je compte d’abord les carreaux entiers, puis je regroupe les demi-carreaux deux par deux.
Le centimètre carré
Pour que tout le monde mesure pareil, on utilise une unité d’aire officielle : le centimètre carré (cm²). C’est l’aire d’un carré de 1 cm de côté.
Sur un quadrillage dont les carreaux mesurent 1 cm de côté, un rectangle de 6 carreaux de long et 4 carreaux de large recouvre 6 × 4 = 24 carreaux : son aire est 24 cm².
| Figure sur quadrillage (carreaux de 1 cm) | Aire |
|---|---|
| Carré de 5 carreaux sur 5 | 25 cm² |
| Rectangle de 6 carreaux sur 4 | 24 cm² |
| Figure de 8 carreaux entiers + 4 demi-carreaux | 10 cm² |
L’aire se mesure en cm² ; le périmètre se mesure en cm. Deux unités différentes pour deux idées différentes !
Ne pas confondre périmètre et aire
Le périmètre mesure le tour, l’aire mesure la surface. Deux figures peuvent avoir le même périmètre et des aires différentes !
Carré 4 × 4 : périmètre 16 cm, aire 16 cm² Rectangle 6 × 2 : périmètre 16 cm, aire 12 cm²
Les deux figures ont le même tour (16 cm), mais le carré recouvre plus de surface que le rectangle.
Même périmètre ne veut pas dire même aire : le tour peut être identique avec des surfaces différentes.
Les angles
Un angle est l’ouverture formée par deux demi-droites qui partent du même point (le sommet). Attention : la taille d’un angle ne dépend pas de la longueur de ses côtés, seulement de son ouverture.
| Angle | Description | Exemple |
|---|---|---|
| Angle droit | comme le coin d’une feuille ; on le vérifie avec l’équerre | le coin d’un livre |
| Angle aigu | plus fermé qu’un angle droit | la pointe d’une part de tarte fine |
| Angle obtus | plus ouvert qu’un angle droit | un éventail bien ouvert |
Pour comparer deux angles, on peut utiliser un gabarit : on décalque un angle et on le pose sur l’autre. On note un angle avec un accent circonflexe : l’angle Â.
Aigu = plus fermé que l’angle droit ; obtus = plus ouvert. L’équerre sert à vérifier l’angle droit.
Mémo — Les aires et les angles
- Aire = mesure de la surface ; périmètre = longueur du tour.
- Comparer des aires : superposer, découper-recoller, ou compter les carreaux.
- Quadrillage : 2 demi-carreaux = 1 carreau entier.
- cm² : aire d’un carré de 1 cm de côté ; rectangle de 6 sur 4 carreaux → 24 cm².
- Angle : ouverture entre deux demi-droites ; sa taille ne dépend pas de la longueur des côtés.
- Angle droit : vérifié avec l’équerre ; aigu : plus fermé ; obtus : plus ouvert.
- Gabarit : pour comparer deux angles, on superpose leurs ouvertures.
- Piège classique : même périmètre ≠ même aire (carré 4 × 4 et rectangle 6 × 2 : périmètre 16 cm, aires 16 et 12 cm²).
Exercices — Les aires et les angles
Exercice 1
Sur un quadrillage, la figure de Nina recouvre 8 carreaux entiers et 4 demi-carreaux. Quelle est son aire, en carreaux ?
Correction
Les 4 demi-carreaux se regroupent deux par deux : ils valent 2 carreaux entiers. Aire = 8 + 2 = 10 carreaux.
Exercice 2
Sur un quadrillage dont les carreaux mesurent 1 cm de côté, Tom dessine un rectangle de 6 carreaux de long et 4 carreaux de large.
- Quelle est l’aire de ce rectangle en cm² ?
- Quel est son périmètre en cm ?
Correction
1) Le rectangle recouvre 6 × 4 = 24 carreaux, donc son aire est 24 cm². 2) Son périmètre est 2 × (6 + 4) = 2 × 10 = 20 cm.
Exercice 3
Classe ces angles : le coin d’un cahier, la pointe d’une part de pizza très fine, l’ouverture d’un éventail bien déplié. Lesquels sont droits, aigus ou obtus ?
Correction
Le coin d’un cahier est un angle droit (l’équerre s’y pose parfaitement). La pointe d’une part de pizza fine est un angle aigu (plus fermé que l’angle droit). L’éventail bien déplié forme un angle obtus (plus ouvert que l’angle droit).
Exercice 4
Sur un quadrillage en centimètres, Lina dessine un carré de 4 carreaux sur 4 et Malo un rectangle de 6 carreaux sur 2.
- Compare leurs périmètres.
- Compare leurs aires.
Correction
1) Périmètre du carré : 4 × 4 = 16 cm ; périmètre du rectangle : 2 × (6 + 2) = 16 cm. Ils sont égaux. 2) Aire du carré : 4 × 4 = 16 cm² ; aire du rectangle : 6 × 2 = 12 cm². Le carré a la plus grande aire, alors que les périmètres sont identiques !
Évaluation — Les aires et les angles
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Le temps et les durées
Lire l’heure sur une horloge à aiguilles
Sur une horloge à aiguilles :
- La petite aiguille indique les heures.
- La grande aiguille indique les minutes : chaque numéro du cadran vaut 5 minutes (grande aiguille sur le 3 → 15 minutes ; sur le 6 → 30 minutes).
- L’après-midi, on ajoute 12 : 3 h de l’après-midi = 3 + 12 = 15 h ; 8 h du soir = 20 h.
Exemple : petite aiguille entre le 4 et le 5, grande aiguille sur le 6 → il est 4 h 30 (ou 16 h 30 l’après-midi).
Grande aiguille : je multiplie le numéro du cadran par 5 pour avoir les minutes. L’après-midi, j’ajoute 12 aux heures.
Les unités de durée
| Relation | Exemple |
|---|---|
| 1 minute = 60 secondes | 120 s = 2 min |
| 1 heure = 60 minutes | 2 h = 120 min ; 90 min = 1 h 30 min |
| 1 jour = 24 heures | 2 jours = 48 h |
| 1/2 h = 30 min ; 1/4 h = 15 min ; 3/4 h = 45 min | une récréation dure 1/4 h = 15 min |
Pour convertir 1 h 45 min en minutes : 60 + 45 = 105 min. Pour convertir 200 min : 200 = 180 + 20, soit 3 h 20 min.
Attention, le temps ne se compte pas en base 10 : 1 h = 60 min, donc 1 h 30 min n’est pas 130 min mais 90 min !
Calculer une durée : la méthode des sauts
Pour calculer la durée entre deux instants, on avance par sauts : d’abord jusqu’à l’heure pile suivante, puis d’heure en heure, puis les minutes restantes.
De 9 h 40 à 10 h 00 : 20 min De 10 h 00 à 11 h 00 : 1 h De 11 h 00 à 11 h 15 : 15 min Durée totale : 1 h + 20 min + 15 min = 1 h 35 min
Autre exemple : un film commence à 20 h 45 et se termine à 22 h 20. Durée : 15 min + 1 h + 20 min = 1 h 35 min.
Je saute d’abord jusqu’à l’heure pile, puis j’ajoute les heures entières, puis les minutes restantes.
Résoudre des problèmes de durées
Dans un problème de durées, on cherche soit l’instant d’arrivée, soit l’instant de départ, soit la durée. Un schéma en ligne du temps aide beaucoup.
- Chercher l’arrivée : Léo part à 8 h 50 et marche 25 min → 8 h 50 + 10 min = 9 h 00, puis + 15 min = 9 h 15.
- Chercher le départ : le train arrive à 17 h 10 après 1 h 30 de trajet → 17 h 10 − 1 h = 16 h 10, puis − 30 min = 15 h 40.
- Deux étapes : 25 min de marche puis 10 min d’attente → durée totale 35 min.
Je dessine une ligne du temps avec le départ, l’arrivée et les sauts : les erreurs disparaissent !
Mémo — Le temps et les durées
- Petite aiguille = heures ; grande aiguille = minutes (numéro du cadran × 5).
- Après-midi : j’ajoute 12. 3 h de l’après-midi = 15 h.
- 1 min = 60 s ; 1 h = 60 min ; 1 jour = 24 h.
- Fractions d’heure : 1/2 h = 30 min ; 1/4 h = 15 min ; 3/4 h = 45 min.
- Convertir : 1 h 45 min = 105 min ; 90 min = 1 h 30 min.
- Méthode des sauts : jusqu’à l’heure pile, puis les heures, puis les minutes.
- Ligne du temps : un schéma pour placer départ, arrivée et durées.
- Piège classique : compter en base 10 (1 h 30 ≠ 130 min : c’est 90 min !).
Exercices — Le temps et les durées
Exercice 1
Convertis :
- 3 h = … min
- 120 s = … min
- 1 h 45 min = … min
- 200 min = … h … min
Correction
1) 3 × 60 = 180 min. 2) 120 ÷ 60 = 2 min. 3) 60 + 45 = 105 min. 4) 200 = 60 + 60 + 60 + 20, donc 3 h 20 min.
Exercice 2
Sur l’horloge de la classe, la petite aiguille est entre le 4 et le 5, et la grande aiguille est sur le 6.
- Quelle heure est-il ?
- Comment dit-on cette heure l’après-midi ?
Correction
1) Grande aiguille sur le 6 → 6 × 5 = 30 minutes. Il est 4 h 30. 2) L’après-midi, on ajoute 12 : il est 16 h 30.
Exercice 3
Un film commence à 20 h 45 et se termine à 22 h 20. Combien de temps dure-t-il ?
Correction
Méthode des sauts : de 20 h 45 à 21 h → 15 min ; de 21 h à 22 h → 1 h ; de 22 h à 22 h 20 → 20 min. Durée totale : 1 h + 15 min + 20 min = 1 h 35 min.
Exercice 4
Léo part de chez lui à 8 h 50. Il marche 25 minutes jusqu’à l’arrêt, puis attend le bus pendant 10 minutes. À quelle heure monte-t-il dans le bus ?
Correction
8 h 50 + 25 min : 8 h 50 + 10 min = 9 h 00, puis + 15 min = 9 h 15. Il arrive à l’arrêt à 9 h 15. Après 10 min d’attente : 9 h 15 + 10 min = 9 h 25. Léo monte dans le bus à 9 h 25.
Évaluation — Le temps et les durées
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — La géométrie plane
Le vocabulaire et les outils du géomètre
| Objet | Notation | Description |
|---|---|---|
| Point | A | Une position marquée par une croix. |
| Segment | [AB] | Un « morceau » de droite avec deux extrémités A et B ; il a une longueur. |
| Droite | (AB) | Une ligne droite illimitée des deux côtés : elle ne peut pas se mesurer. |
| Demi-droite | [AB) | Une ligne droite qui part de A et ne s’arrête jamais du côté de B. |
Les trois outils du géomètre : la règle pour tracer et mesurer, l’équerre pour les angles droits, le compas pour les cercles et pour reporter des longueurs.
Crochets [AB] = segment (on peut le mesurer) ; parenthèses (AB) = droite (illimitée, on ne peut pas la mesurer).
Droites perpendiculaires et droites parallèles
- Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en formant un angle droit. On le vérifie avec l’équerre.
- Deux droites sont parallèles si elles ne se coupent jamais, même en les prolongeant : elles gardent toujours le même écart, comme les rails d’un train.
- Dans la vie : les lignes d’un cahier sont parallèles ; le bord haut et le bord gauche d’une feuille sont perpendiculaires.
Perpendiculaires = angle droit (vérifié à l’équerre) ; parallèles = même écart partout, comme des rails.
Les figures usuelles
Un polygone est une figure fermée dont les côtés sont des segments. Les triangles ont 3 côtés, les quadrilatères en ont 4.
| Figure | Propriétés |
|---|---|
| Triangle isocèle | 2 côtés de même longueur. |
| Triangle équilatéral | 3 côtés de même longueur. |
| Triangle rectangle | 1 angle droit. |
| Rectangle | 4 angles droits ; côtés opposés de même longueur. |
| Losange | 4 côtés de même longueur. |
| Carré | 4 angles droits et 4 côtés de même longueur : c’est à la fois un rectangle et un losange ! |
Le cercle est l’ensemble des points situés à la même distance du centre. Cette distance est le rayon. Le diamètre traverse le cercle en passant par le centre : diamètre = 2 × rayon. Un cercle de rayon 4 cm a un diamètre de 8 cm.
Diamètre = 2 × rayon. Et le carré est un quadrilatère « champion » : rectangle et losange à la fois.
La symétrie axiale
Une figure a un axe de symétrie si, en la pliant le long de cet axe, les deux moitiés se superposent exactement.
- Le carré a 4 axes de symétrie ; le rectangle en a 2 ; le cercle en a une infinité !
- Des lettres aussi ont des axes : A, H, M, O…
- Pour construire le symétrique d’un point sur un quadrillage : je compte les carreaux entre le point et l’axe, puis je reporte le même nombre de carreaux de l’autre côté.
Le symétrique d’un point est de l’autre côté de l’axe, à la même distance. Le pliage est le test parfait !
Mémo — La géométrie plane
- Notations : [AB] = segment (mesurable) ; (AB) = droite (illimitée).
- Outils : règle (tracer, mesurer), équerre (angle droit), compas (cercles, reports de longueur).
- Perpendiculaires : se coupent en angle droit. Parallèles : ne se coupent jamais, même écart partout.
- Triangles : isocèle (2 côtés égaux), équilatéral (3 côtés égaux), rectangle (1 angle droit).
- Quadrilatères : rectangle (4 angles droits), losange (4 côtés égaux), carré (les deux à la fois).
- Cercle : centre, rayon, diamètre = 2 × rayon.
- Symétrie : pliage le long de l’axe → les deux moitiés se superposent ; symétrique = autre côté, même distance.
- Piège classique : un carré est aussi un rectangle et un losange — mais un rectangle n’est pas toujours un carré !
Exercices — La géométrie plane
Exercice 1
Vrai ou faux ?
- Un segment [AB] a deux extrémités.
- Une droite peut se mesurer avec une règle.
- Le compas sert uniquement à tracer des cercles.
Correction
1) Vrai : les extrémités sont A et B. 2) Faux : une droite est illimitée, elle n’a pas de longueur. 3) Faux : il sert aussi à reporter des longueurs (par exemple pour construire un triangle).
Exercice 2
Réponds aux questions sur le cercle :
- Un cercle a un rayon de 4 cm. Quel est son diamètre ?
- Un cercle a un diamètre de 10 cm. Quel est son rayon ?
Correction
1) Diamètre = 2 × rayon = 2 × 4 = 8 cm. 2) Rayon = diamètre ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5 cm.
Exercice 3
Quel est ce quadrilatère ?
- Il a 4 côtés de même longueur et 4 angles droits.
- Il a 4 côtés de même longueur mais pas d’angle droit.
- Il a 4 angles droits, mais ses côtés ne sont pas tous égaux.
Correction
1) C’est un carré. 2) C’est un losange. 3) C’est un rectangle. Remarque : le carré est un rectangle ET un losange à la fois.
Exercice 4
Combien d’axes de symétrie ont ces figures : un carré, un rectangle, la lettre H ?
Correction
Le carré a 4 axes (2 médianes + 2 diagonales). Le rectangle a 2 axes (les médianes ; ses diagonales ne sont PAS des axes de symétrie). La lettre H a 2 axes : un vertical et un horizontal.
Évaluation — La géométrie plane
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Les solides et l’espace
Le vocabulaire des solides
Un solide est un objet en 3 dimensions : on peut le tenir dans la main, contrairement à une figure plane dessinée sur une feuille.
- Une face est une surface plate du solide (comme une face d’un dé).
- Une arête est le segment où deux faces se rejoignent.
- Un sommet est le point où plusieurs arêtes se rejoignent (un « coin »).
- Les solides dont toutes les faces sont plates sont des polyèdres ; ceux qui roulent (cylindre, cône, boule) ont des surfaces courbes.
Face = surface plate ; arête = « pli » entre deux faces ; sommet = coin. Un dé : 6 faces, 12 arêtes, 8 sommets.
Reconnaître et décrire les solides usuels
| Solide | Faces | Sommets | Arêtes | Exemple |
|---|---|---|---|---|
| Cube | 6 carrés | 8 | 12 | un dé |
| Pavé droit | 6 rectangles | 8 | 12 | une boîte à chaussures |
| Pyramide à base carrée | 1 carré + 4 triangles | 5 | 8 | les pyramides d’Égypte |
| Prisme droit (base triangle) | 2 triangles + 3 rectangles | 6 | 9 | une tente de camping |
| Cylindre | 2 disques + 1 surface courbe | 0 | — | une boîte de conserve |
| Cône | 1 disque + 1 surface courbe | 1 pointe | — | un cornet de glace |
Le cube et le pavé ont la même « ossature » : 6 faces, 8 sommets, 12 arêtes. Seule la forme des faces change !
Le patron du cube
Un patron est un dessin à plat qui, une fois plié, reconstitue le solide, comme un carton de déménagement déplié.
- Un patron de cube contient exactement 6 carrés identiques.
- La disposition en croix fonctionne : 4 carrés en colonne, plus 1 carré de chaque côté.
- Attention : toutes les dispositions de 6 carrés ne marchent pas ! Si deux carrés se superposent au pliage, ce n’est pas un patron.
- Pour vérifier, on imagine (ou on réalise) le pliage.
Patron de cube = 6 carrés, disposés pour que chaque face trouve sa place au pliage, sans trou ni superposition.
Se repérer : déplacements codés et assemblages de cubes
Sur un quadrillage, on peut coder un déplacement avec des flèches : ↑ (monter d’une case), ↓ (descendre), → (aller à droite), ← (aller à gauche).
Code : ↑ ↑ → → Le pion monte de 2 cases puis va 2 cases à droite : il s’est déplacé de 4 cases en tout.
Pour les assemblages de cubes, il faut penser aux cubes cachés ! Un escalier de 3 marches (colonnes de 1, 2 et 3 cubes) utilise 1 + 2 + 3 = 6 cubes.
Dans un assemblage, je compte colonne par colonne pour ne pas oublier les cubes cachés derrière ou dessous.
Mémo — Les solides et l’espace
- Vocabulaire : face (surface plate), arête (segment entre deux faces), sommet (coin).
- Cube : 6 faces carrées, 8 sommets, 12 arêtes. Pavé droit : pareil, avec des rectangles.
- Pyramide à base carrée : 5 faces (1 carré + 4 triangles), 5 sommets, 8 arêtes.
- Solides qui roulent : cylindre (2 disques), cône (1 disque + 1 pointe), boule.
- Patron du cube : 6 carrés identiques ; on vérifie par pliage mental.
- Déplacements codés : ↑ ↓ → ← , une flèche = une case.
- Assemblages : compter colonne par colonne, sans oublier les cubes cachés.
- Piège classique : croire que toute disposition de 6 carrés est un patron de cube — certaines se superposent au pliage !
Exercices — Les solides et l’espace
Exercice 1
Devinettes : quel est ce solide ?
- J’ai 6 faces carrées toutes identiques.
- J’ai 2 faces en forme de disque et je roule.
- J’ai une base en disque et une pointe.
Correction
1) Le cube. 2) Le cylindre (comme une boîte de conserve). 3) Le cône (comme un cornet de glace).
Exercice 2
Une boîte à chaussures a la forme d’un pavé droit. Combien a-t-elle de faces, de sommets et d’arêtes ?
Correction
Un pavé droit a 6 faces (rectangulaires), 8 sommets et 12 arêtes — exactement comme le cube.
Exercice 3
Sami a dessiné une figure avec 5 carrés pour fabriquer un cube en papier. Cela peut-il fonctionner ? Explique.
Correction
Non : un cube a 6 faces, donc son patron doit contenir exactement 6 carrés. Avec 5 carrés, il manquera toujours une face ! Et même avec 6 carrés, il faut vérifier par pliage qu’aucune face ne se superpose.
Exercice 4
Nour construit un escalier avec des petits cubes : la première colonne a 1 cube, la deuxième 2 cubes, la troisième 3 cubes. Combien de cubes utilise-t-elle ? Et si elle ajoute une quatrième colonne ?
Correction
1 + 2 + 3 = 6 cubes. Avec une quatrième colonne de 4 cubes : 6 + 4 = 10 cubes.
Évaluation — Les solides et l’espace
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Données et probabilités
Recueillir des données et construire un tableau
Pour répondre à une question comme « Quel est le sport préféré de la classe ? », on fait une enquête : on interroge chacun et on note les réponses.
On range ensuite les résultats dans un tableau : chaque nombre s’appelle un effectif.
| Sport préféré | Football | Danse | Judo | Natation |
|---|---|---|---|---|
| Nombre d’élèves | 10 | 6 | 5 | 3 |
On peut vérifier : 10 + 6 + 5 + 3 = 24 élèves, c’est bien l’effectif de la classe.
Un tableau bien construit a un titre, des catégories claires, et le total des effectifs correspond au nombre de personnes interrogées.
Lire des diagrammes et des courbes
Le diagramme en barres représente les mêmes données qu’un tableau, mais en dessin : plus la barre est haute, plus l’effectif est grand. D’un coup d’œil, on voit que le football est le sport préféré !
- Je lis le titre : de quoi parle le diagramme ?
- Je lis les axes : les catégories en bas, les effectifs sur le côté.
- Je repère la graduation : de combien en combien monte l’axe ?
La courbe sert à montrer une évolution dans le temps, comme la température au fil de la journée : quand la courbe monte, la température augmente.
Diagramme en barres → comparer des catégories ; courbe → suivre une évolution dans le temps.
Le hasard : certain, possible ou impossible
Une expérience de hasard est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l’avance : lancer un dé, tirer une carte, jouer à pile ou face. Chaque résultat possible s’appelle une issue.
| Évènement (avec un dé à 6 faces) | Verdict |
|---|---|
| Obtenir un nombre entre 1 et 6 | certain : ça arrive à tous les coups |
| Obtenir un 3 | possible : ça peut arriver, ou pas |
| Obtenir un 7 | impossible : ça ne peut jamais arriver |
Trois mots magiques du hasard : certain (toujours), possible (parfois), impossible (jamais).
Comparer des chances : plus probable, équiprobable
Certains évènements ont plus de chances de se produire que d’autres.
- Dans un sac contenant 5 billes rouges, 2 bleues et 1 verte, tirer une bille rouge est le plus probable : il y a plus de billes rouges que des autres couleurs.
- Tirer une bille verte est le moins probable : il n’y en a qu’une.
- À pile ou face avec une pièce équilibrée, pile et face ont autant de chances l’un que l’autre : on dit que les issues sont équiprobables.
- Sur un dé équilibré, chaque face (1, 2, 3, 4, 5, 6) a la même chance de sortir.
Équiprobable = toutes les issues ont la même chance, comme pile ou face avec une pièce équilibrée.
Mémo — Données et probabilités
- Enquête → tableau d’effectifs ; le total doit correspondre au nombre de personnes interrogées.
- Diagramme en barres : barre plus haute = effectif plus grand ; sert à comparer des catégories.
- Courbe : montre une évolution dans le temps (elle monte, elle descend).
- Bien lire : titre, axes, graduation (de combien en combien ?).
- Issue : un résultat possible d’une expérience de hasard.
- Certain / possible / impossible : avec un dé, « entre 1 et 6 » est certain, « un 3 » est possible, « un 7 » est impossible.
- Plus probable : la couleur la plus nombreuse dans le sac a le plus de chances d’être tirée.
- Équiprobable : mêmes chances pour toutes les issues (pile ou face, dé équilibré).
Exercices — Données et probabilités
Exercice 1
Dans la classe de CM1, on a demandé le sport préféré : football 10 élèves, danse 6, judo 5, natation 3.
- Combien d’élèves ont été interrogés ?
- Quel est le sport le plus choisi ?
- Combien d’élèves de plus ont choisi le football plutôt que la danse ?
Correction
1) 10 + 6 + 5 + 3 = 24 élèves. 2) Le football (10 votes, la plus grande valeur). 3) 10 − 6 = 4 élèves de plus.
Exercice 2
Le diagramme en barres de la bibliothèque indique les livres empruntés : lundi 8, mardi 5, jeudi 12. Combien de livres ont été empruntés en tout sur ces trois jours ? Quel jour a été le plus calme ?
Correction
Total : 8 + 5 + 12 = 25 livres. Le jour le plus calme est le mardi (5 emprunts, la barre la plus basse).
Exercice 3
On lance un dé ordinaire à 6 faces. Classe chaque évènement : certain, possible ou impossible ?
- Obtenir 0.
- Obtenir un nombre inférieur ou égal à 6.
- Obtenir un nombre pair.
Correction
1) Impossible : le dé n’a pas de face 0. 2) Certain : toutes les faces vont de 1 à 6. 3) Possible : 2, 4 et 6 sont pairs, mais on peut aussi obtenir 1, 3 ou 5.
Exercice 4
Un sac contient 5 billes rouges, 2 bleues et 1 verte. On tire une bille sans regarder.
- Quelle couleur a le plus de chances d’être tirée ?
- Et à pile ou face avec une pièce équilibrée : qui a le plus de chances, pile ou face ?
Correction
1) La couleur rouge : il y a 5 billes rouges sur 8, plus que toute autre couleur. 2) Ni l’un ni l’autre : pile et face ont exactement les mêmes chances, les issues sont équiprobables.
Évaluation — Données et probabilités
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — La proportionnalité
Reconnaître une situation de proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles quand elles évoluent « ensemble, au même rythme » : si l’une double, l’autre double ; si l’une triple, l’autre triple.
- Proportionnel : le prix des baguettes. 1 baguette coûte 1,20 €, 2 baguettes coûtent 2,40 €, 4 baguettes coûtent 4,80 €.
- Pas proportionnel : l’âge et la taille. À 8 ans on ne mesure pas le double de ce qu’on mesurait à 4 ans !
- Pour vérifier, je teste : « Si je prends 2 fois plus, est-ce que je paie 2 fois plus ? »
Proportionnalité = « 2 fois plus de l’un → 2 fois plus de l’autre ». Si ce test échoue, ce n’est pas proportionnel.
Raisonner par linéarité : « fois plus » et « en ajoutant »
Dans une situation de proportionnalité, on peut raisonner de deux façons très pratiques :
- Multiplier : 2 croissants coûtent 2,40 €. Pour 6 croissants (3 fois plus), je paie 3 fois plus : 2,40 × 3 = 7,20 €.
- Additionner : le prix de 5 croissants = prix de 2 + prix de 3.
- Diviser : pour 1 croissant (2 fois moins que 2), je paie 2 fois moins : 2,40 ÷ 2 = 1,20 €.
2 croissants → 2,40 € 6 croissants → 3 fois plus → 2,40 € × 3 = 7,20 €
« 3 fois plus de croissants → 3 fois plus cher » : c’est le raisonnement de linéarité.
Utiliser un tableau de proportionnalité
Un tableau aide à organiser le raisonnement. Exemple : une recette de gâteau prévoit 200 g de farine pour 4 personnes.
| Personnes | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| Farine (g) | 100 | 200 | 300 | 400 |
- Pour 8 personnes (2 fois plus que 4) : 200 × 2 = 400 g.
- Pour 2 personnes (2 fois moins) : 200 ÷ 2 = 100 g.
- Pour 6 personnes : 4 + 2 personnes → 200 + 100 = 300 g.
Dans un tableau de proportionnalité, je peux multiplier ou diviser une colonne, ou additionner deux colonnes pour en créer une nouvelle.
Le passage par l’unité
Quand les nombres ne s’arrangent pas bien, on peut d’abord chercher la valeur pour 1, puis multiplier.
5 cahiers coûtent 10 €. Prix d’un cahier : 10 ÷ 5 = 2 € Prix de 7 cahiers : 2 × 7 = 14 €
Cette méthode marche à tous les coups : c’est le « passage par l’unité ».
Je cherche d’abord le prix d’UN objet (division), puis je multiplie par le nombre voulu.
Mémo — La proportionnalité
- Proportionnel : 2 fois plus de l’un → 2 fois plus de l’autre (prix des baguettes).
- Pas proportionnel : l’âge et la taille, l’âge et la pointure…
- Multiplier : 2 croissants → 2,40 €, donc 6 croissants → 2,40 × 3 = 7,20 €.
- Additionner : la valeur pour 6 = la valeur pour 4 + la valeur pour 2.
- Diviser : la valeur pour 2 = la valeur pour 4 ÷ 2.
- Passage par l’unité : 5 cahiers → 10 €, donc 1 cahier → 2 €, donc 7 cahiers → 14 €.
- Tableau : organiser les données pour voir les liens entre colonnes.
- Piège classique : appliquer la proportionnalité à une situation qui ne l’est pas (grandir, courir…).
Exercices — La proportionnalité
Exercice 1
Ces situations sont-elles des situations de proportionnalité ?
- Le nombre de baguettes achetées et le prix payé.
- L’âge d’un enfant et sa pointure de chaussures.
Correction
1) Oui : 2 fois plus de baguettes → 2 fois plus cher. 2) Non : à 10 ans, on ne chausse pas le double de ce qu’on chaussait à 5 ans ! La pointure n’évolue pas « au même rythme » que l’âge.
Exercice 2
À la boulangerie, 2 croissants coûtent 2,40 €. Combien coûtent 6 croissants ?
Correction
6 croissants, c’est 3 fois plus que 2 croissants. Je paie donc 3 fois plus : 2,40 × 3 = 7,20 €.
Exercice 3
Une recette de gâteau prévoit 200 g de farine pour 4 personnes. Quelle quantité de farine faut-il pour 6 personnes ?
Correction
Pour 2 personnes (2 fois moins que 4) : 200 ÷ 2 = 100 g. Pour 6 personnes (4 + 2) : 200 + 100 = 300 g de farine.
Exercice 4
À la papeterie, 5 cahiers identiques coûtent 10 €. Combien coûtent 7 cahiers ?
Correction
Passage par l’unité : 1 cahier coûte 10 ÷ 5 = 2 €. Donc 7 cahiers coûtent 2 × 7 = 14 €.
Évaluation — La proportionnalité
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Initiation à la pensée informatique
Coder et décoder des déplacements
Sur un quadrillage, on peut décrire le chemin d’un pion avec un code de flèches : ↑ (une case vers le haut), ↓ (vers le bas), → (vers la droite), ← (vers la gauche).
Départ : colonne 1, ligne 1 Code : → → ↑ Le pion va 2 cases à droite puis 1 case vers le haut. Arrivée : colonne 3, ligne 2
- Décoder : suivre un code flèche par flèche pour trouver la case d’arrivée.
- Coder : écrire la suite de flèches qui mène du départ à l’arrivée.
- Pour aller 2 cases à droite et 3 cases en haut, le code est : → → ↑ ↑ ↑ (5 flèches en tout).
Une flèche = une case. Je suis le code dans l’ordre, sans sauter d’étape.
Programmer un robot ou un personnage
Un programme est une liste d’instructions que le robot exécute dans l’ordre, exactement comme elles sont écrites. Le robot ne devine rien : il obéit à la lettre !
- Instructions courantes : « avance de 1 pas », « tourne à droite », « tourne à gauche ».
- L’ordre compte : « avance puis tourne » ne donne pas le même chemin que « tourne puis avance ».
- Pour dessiner un carré, le robot répète 4 fois : « avance de 4 pas, tourne à droite ».
- Quand le résultat n’est pas celui attendu, il y a un bug : on relit le programme pas à pas pour trouver l’erreur et la corriger. C’est le débogage.
Un robot exécute les instructions dans l’ordre, sans réfléchir. Si le résultat est faux, c’est le programme qu’il faut corriger !
Programmes de calcul et suites : des algorithmes partout
Un algorithme, c’est une méthode décrite étape par étape, comme une recette de cuisine. Les programmes de calcul et les suites de nombres en sont de bons exemples.
Programme : « Multiplie par 2, puis ajoute 1. » Départ 6 → 6 × 2 = 12 → 12 + 1 = 13 Départ 10 → 20 → 21
- J’exécute les instructions une par une, dans l’ordre.
- Une suite évolutive suit aussi une règle : 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; … → « ajoute 2 » ; l’algorithme est la règle qu’on répète.
- Une recette, un pas de danse, un origami : ce sont aussi des algorithmes de la vie de tous les jours !
Algorithme = une suite d’étapes précises qui, exécutées dans l’ordre, donnent toujours le résultat attendu.
Suivre un programme de construction géométrique
En géométrie aussi, on suit des programmes ! Un programme de construction décrit une figure étape par étape.
1. Trace un segment [AB] de 4 cm. 2. En A, trace la perpendiculaire à (AB) ; place C à 4 cm de A. 3. En B, trace la perpendiculaire à (AB) ; place D à 4 cm de B. 4. Relie C et D. Figure obtenue : un carré de 4 cm de côté !
- Je lis tout le programme avant de commencer.
- Je réalise les étapes dans l’ordre, avec les bons outils (règle, équerre, compas).
- À la fin, je vérifie que la figure correspond bien à la description.
Un programme de construction se suit étape par étape, comme un programme de robot : ordre et précision !
Mémo — Initiation à la pensée informatique
- Code de flèches : ↑ ↓ → ← ; une flèche = une case ; on suit le code dans l’ordre.
- Coder = écrire le chemin ; décoder = suivre le code pour trouver l’arrivée.
- Programme : liste d’instructions exécutées dans l’ordre ; l’ordre change le résultat.
- Robot : « avance », « tourne à droite », « tourne à gauche » ; il obéit à la lettre.
- Bug : erreur dans le programme ; déboguer = relire pas à pas et corriger.
- Algorithme : méthode étape par étape (programme de calcul, recette, construction géométrique).
- Carré au robot : répéter 4 fois « avance, tourne à droite ».
- Piège classique : exécuter les instructions dans le désordre ou en sauter une.
Exercices — Initiation à la pensée informatique
Exercice 1
Un pion part de la case « colonne 1, ligne 1 » et suit le code : → → ↑. Sur quelle case arrive-t-il ?
Correction
Je suis le code dans l’ordre : → (colonne 2, ligne 1), → (colonne 3, ligne 1), ↑ (colonne 3, ligne 2). Le pion arrive sur la case colonne 3, ligne 2.
Exercice 2
Écris le code de flèches pour aller 2 cases à droite puis 3 cases vers le haut. Combien de flèches ton code contient-il ?
Correction
Le code est : → → ↑ ↑ ↑. Il contient 5 flèches (2 pour la droite, 3 pour le haut).
Exercice 3
Un robot doit dessiner un carré de 4 pas de côté. Complète son programme : combien de fois doit-il répéter « avance de 4 pas, tourne à droite » ?
Correction
Un carré a 4 côtés : le robot doit répéter 4 fois « avance de 4 pas, tourne à droite ». À la fin, il a dessiné les 4 côtés et retrouve sa position et son orientation de départ.
Exercice 4
Léna exécute le programme de calcul « Multiplie par 2, puis ajoute 1 » en partant de 6, et trouve 14. A-t-elle raison ? Sinon, trouve son bug.
Correction
Non : 6 × 2 = 12, puis 12 + 1 = 13. Léna a sans doute inversé les instructions : 6 + 1 = 7, puis 7 × 2 = 14. Son bug : elle a exécuté les instructions dans le désordre ! L’ordre des instructions change le résultat.
Évaluation — Initiation à la pensée informatique
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1